Asymptote

pour avoir un bénéfice maximal. Ta classe est informée du projet. Voulant aider le président du COGES, votre classe décide d’étudier les fonctions polynômes et rationnelles. HABILETES CONTENUS Identifier - une asymptote verticale - une asymptote horizontale - une asymptote oblique Connaitre - la limite d’une fonction polynôme en un point - la limite d’une fonction rationnelle en un point où elle est définie - la limite à gauche en a de la fonction x  1 x -a - la limite à droite

tendant vers 0 est une forme indéterminée" III) ASYMPTOTES 1. Asymptote horizontale Si lim ¦(x) = k (resp. lim ¦(x) = k), on dit que la droite d'équation y = k est une asymptote horizontale à la x ® +¥ x ® -¥ courbe C¦ en +¥ (resp. en -¥). Exemple : 1ö æ lim ç 2 + ÷ = 2, donc la courbe représentative de la fonction xø è x ® +¥ ¦ définie par ¦(x) = 2 + 1 admet une asymptote horizontale x d'équation y = 2 en +¥. 2. Asymptote verticale Si une fonction ¦ admet une limite

définition D f de f . 2) a) Montrer que pour tout x  0,  on a f ( x)  x  4  5 x 1 b) Montrer que la droite  : y  x  4 est une asymptote à la courbe  de f en    . c) Etudier la position de  par rapport à  sur 3) a) Montrer que pour tout x  , 0 on a f ( x)  1 x 1  x 2 . b) En déduire que f admet une asymptote D d’équation y  0 en () 4) a) Etudier la continuité de la fonction f en 0 . b) En déduire que f est continue sur Exercice n°3 : ( 4 points

différents cas de figure possibles sont les suivants (nous traitons la problématique des limites en b, les résultats sont bien sûr analogues en a) : 1. lim x(t ) = x0 et lim y (t ) = ±∞ − − t →b t →b Asymptote d’équation x = x0 ; 2. lim x(t ) = ±∞ et lim y (t ) = y0 − − t →b t →b t →b t →b Asymptote d’équation y = y0 ; plusieurs cas de figure sont possibles : 3. lim x(t ) = ±∞ et lim y (t ) = ±∞ − − a. lim − t →b y (t ) =0 x (t ) y (t ) = ±∞ x (t ) Branche parabolique de direction

| | | | |la valeur absolue de|Vertical : | |B, C NÉGATIFS) | |Asymptotes : | | |la différence des |[pic] | | | |y = ±[pic] | |

l’∞ : Lim x→a f(x) =∞, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images finissent par dépasser n’importe quel nombre réel aussi grand que l’on veut 7. Asymptotes A. Définitions : Asymptotes verticale : le graphe d’une fonction f(x) admet une A.V. d’équation x=a. Si il existe un réel a tel que Lim x→a f(x) = ∞ Asymptotes horizontale :le graphe d’une fonction f(x) admet une A.H. d’équation y=a. Si il existe un réel a tel que Lim x→∞ f(x) = a

Passe – haut du 2ème ordre H0  0 ; a   ; b  0 H0  0 ; a  0 ; b  1 2 p 1  2 p   2 p 2 Asymptote haute fréquence à – 20 dB/décade. H ( p)  Asymptote basse fréquence à + 20 dB/décade. 1 1  2 p   2 p 2 Asymptote haute fréquence à – 40 dB/décade. H ( p)  Asymptote basse fréquence horizontale.  2 p2 H ( p)  1  2 p   2 p 2 Asymptote haute fréquence horizontale. Asymptote basse fréquence à + 40 dB/décade. Réjecteur de bande du 2ème ordre H0  1 ; a  0 ; b  1 Déphaseur

(c) 3-15 : Tangente (c) 3-16 : Rationnelle 1 (c) 3-17 : Rationnelle 2 (c) 3-18 : Rationnelle 3 (c) 3-19 : Rationnelle 4 (c) 3-20 : Rationnelle 5 (c) 3-21 : Rationnelle 6 (c) 3-22 : Rationnelle 7 (c) 3-23 : Rationnelles 8 3-24 : Asymptotes 3-25 : Factorisons (c) 3-26 : Approximations (c) 3-27 : Eclairement (c) 4. Trigonométrie 4-28 : Sinus cardinal 4-29 : Arctangente 4-30 : Trapèze d’aire maximale 5. Optimisation et modélisation 5-31 : Boite 5-32 : Coûts de production

sur R par f (x) = 3 5+ex . Sa courbe représentative dans un repère admet : A. une seule asymptote horizontale ; B. une asymptote horizontale et une asymptote verticale ; C. deux asymptotes horizontales. La bonne réponse est la réponse C. En effet : lim x→+∞ ex =+∞, donc lim x→+∞ 5+ex =+∞ et, par conséquent, lim x→+∞ 3 5+ex = 0. On en déduit que la droite d’équation y = 0, à savoir l’axe des abscisses, est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +∞. lim x→−∞ ex = 0, donc lim x→−∞ 5+ex

g(x). Si lim f(x) = +∞ alors lim g(x) = +∞. Si lim g(x) = −∞ alors lim f(x) = −∞. x→a x→a x→a x→a Droites parallèles à un axe de coordonnées asymptotes à une courbe. ℓ a a est un réel. Si lim f(x) = ±∞, x→a ℓ est un réel. Si lim f(x) = ℓ, x→±∞ la droite d’équation x = aest asymptote à Cf . la droite d’équation y = ℓest asymptote à Cf en ±∞. c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr