Asymptote

dans le plan muni d’un repère orthogonal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Partie A 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. 1 b. Montrer que la droite (D) d’équation y = x est asymptote à la courbe 3 (C ). Tracer (D). c. Étudier la position relative de (D) et de (C ). 2 d. Montrer que pour tout réel x, f (x) = ln (ex + 1) − x. 3 Baccalauréat S A. P M. E. P . . 2. a. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f

conditions d'étude F (x) = 5 x→+∞ lim On peut paraphraser ce résultat en disant que pour les "grandes" valeurs positives de x, f se comporte "à peu près" comme la fonction constante 5. Géométriquement, ceci se manifeste par l'existence d'une asymptote. 1 De même, pour x grand et positif cosh x et sinh x se comportent "à peu près" comme ex . 2 Ce dernier exemple suggère qu'il peut être protable de comparer des fonctions entre elles, même en l'absence d'une limite. 12.0.65 Dénition de l'équivalence

Frequency (rad/sec) Figure II-4 : diagramme de Bode du système du premier ordre - Le gain statique se lit sur le diagramme du haut pour les ω tendant vers O. - La constante de temps est l'inverse de la pulsation de coupure à l'intersection des deux asymptotes systèmes du premier ordre avec un retard pur C'est le modèle courant des processus thermiques 0(p)= (K.e-T.P)/(1+T.p) L'entrée du système est une tension de référence et la sortie une tension mesurée par le capteur. Le système est donc représenté

) . Les courbes C1, C2 et C3 sont données ci-dessous. Partie A : Etude de la fonction f1 définie sur R par f1 ( x ) = 1. Vérifier que pour tout réel x, f1 ( x ) = 4ex ex + 7 . . 1 + 7 e− x 2. a. Démontrer que la courbe C1 admet deux asymptotes dont on précisera des équations. b. Démontrer que la fonction f1 est strictement croissante sur R. c. Démontrer que pour tout réel x, 0 < f1 ( x ) < 4 . 3. a. Démontrer que le point I1 de coordonnées (ln7, 2) est un centre de symétrie de la courbe

repère O, ı ,  . Partie A 1. Déterminer la limite de f en - ∞ puis la limite de f en + ∞. 2. Étudier le sens de variation de f . 3. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x) = −x + ln (1 + ex ). En déduire que la courbe Γ admet, en - ∞, une asymptote, notée (∆). Sportifs de haut-niveau 13 septembre 1999 Baccalauréat S septembre 1999 L’intégrale 2000 4. Tracer (∆) et Γ. Partie B 1. Vérifier que, pour tout nombre réel x, f ′ (x) = −1 . 1 + ex 2. On note A, B et C les points

2 Page 25 Exercice 1 : [pic] Page 26 Exercice 2 : [pic] Page 3 Exercice 1 : a) [pic] b) [pic] Exercice 2 : | |Coordonnées des sommets |Coordonnées des foyers |Équations des asymptotes| |a) [pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |b) [pic] |[pic] ou [pic] |[pic] |[pic] ou [pic]

Newton accélère dans ses recherches, il en- tame en 1666 l’étude des fonctions dérivables et de leurs dérivées à partir du tracé des tan- gentes sur la base des travaux de Fermat. Il classifie les cubiques et en donne des tracés corrects avec asymptotes, inflexions et points de rebroussement. En 1669, il rédige un compte rendu sur les fondements du calcul infinitésimal qu’il appelle « méthode des fluxions ». Newton a fondé ainsi l’analyse mathématique moderne. En 1669 toujours, Newton

2 x en facteur). b) f ( x)  e13 x (en  , multiplier numérateur et dénominateur par e3 x ). 3 x 1 e x 1  . 3 ex Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et montrer que la courbe représentative de f admet une asymptote. Exercice 19 : Soit f la fonction définie par f ( x )  Exercice 20 : Soit f la fonction définie par f ( x)   2  x  ex . Justifier les affirmations données par le tableau de variations suivant : x f ( x ) 0 1    0

propriétés de manipulations graphiques et indique les différentes étapes par lesquelles tu passes pour construire la fonction demandée.Voici le graphe de g(x) = a) Détermine par lecture graphique, quels sont les zéros de g(x) ?b) Ecris l’équation des 2 asymptotes au graphe de g. Trace-lesc) Par calculs, résous l’équation g(x) = 1. Réalise une vérification graphique qui doit être visiblePour la fonction a) Détermine analytiquement dom fb) Détermine analytiquement, ordonnée à l’originec) Détermine analytiquement

déduire que la droite d’équation y = 3 est asymptote horizontale à la courbe C en +∞. b) lim g ( x ) = 9 s’interprète ainsi : pour de « très grandes » valeurs négatives de x, f(x) x →−∞ est « très proche » de la valeur 9. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction g se rapproche de la droite (horizontale) d’équation y = 9 quand x tend vers -∞. D’après le résultat de cours, on peut en déduire que la droite d’équation y = 9 est asymptote horizontale à la courbe C en -∞. 8 2061