Asymptote

si x > max(G, H) alors g(x) ∈ I et h(x) ∈ I. Puisque g(x) f (x) h(x), f (x) ∈ I aussi. Par définition, f tend vers ℓ en a. ¤ 1.3.2 Asymptotes Définition. Deux fonctions sont dites asymptotes en a si leur différence tend vers 0 en a. Remarque. Ceci signifie concrètement que leurs courbes se rapprochent infiniment au voisinage de x = a. Deux courbes sont asymptotes si leurs fonctions associées le sont. Définition. • Si une fonction f possède une limite finie ℓ en ±∞, alors la droite d’équation y = ℓ

si x > max(G, H) alors g(x) ∈ I et h(x) ∈ I. Puisque g(x) f (x) h(x), f (x) ∈ I aussi. Par définition, f tend vers ℓ en a. ¤ 1.3.2 Asymptotes Définition. Deux fonctions sont dites asymptotes en a si leur différence tend vers 0 en a. Remarque. Ceci signifie concrètement que leurs courbes se rapprochent infiniment au voisinage de x = a. Deux courbes sont asymptotes si leurs fonctions associées le sont. Définition. • Si une fonction f possède une limite finie ℓ en ±∞, alors la droite d’équation y = ℓ

+ 7) = 7 lim ex = 0 donc x→–∞ x→–∞ x→–∞ Donc par quotient : lim f1(x) = 0. La courbe C1 admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 au voisinage de – ∞. x→–∞ Limite de f1 en + ∞ : x→+∞ f1(x) = et X→–∞ Donc par composée lim e = 0 puis lim (1 + 7 e–x) = 1 –x lim – x = – ∞ 4 . 1 + 7e– x lim eX = 0 x→+∞ x→+∞ Donc par quotient : La courbe C1 admet une asymptote horizontale d’équation y = 4 au voisinage de + ∞. b) La fonction f1 est le quotient de deux fonctions

− 𝑒 𝑥 𝑑′𝑜𝑢 lim 𝑓(𝑥) = lim 3 − 𝑒 𝑥 = 3 𝑥 𝑥→−∞ lim = 𝑥→−∞ 𝑥 lim − 𝑒 1−𝑥 = - ∞. 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥 La droite D:y = 3 est une asymptote à C au voisinage de +∞ 2)a)b) x -∞ f ’(x) f (x) + ∞ 3 y 6 5 1 0 2 +∞ + 3 3 3 4 3 2 1 3)A= 0 3 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 𝑥𝑒 1−𝑥 dx = −𝑥𝑒 1−𝑥 3 - 0 −𝑒 1−𝑥 𝑑𝑥 0 = −𝑥𝑒

dresser son tableau de variations. 3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abscisse 0. b. À l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T). 4. Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe (C ). EXERCICE 3 : Commun à tous les candidats (5 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ([pic]), on considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point

z = x − i. i(x − i + i) xi D’où z ′ = = . Donc z ′ est un imaginaire pur. x −i−1+i x −1 Les points M ′ appartiennent donc à l’axe des ordonnées. 2. F A E XERCICE 3 f (x) = 1 + xe−x . Partie A 1. 5. a. On sait que lim x La droite (∆) est asymptote à C au voisinage de plus l’infini. x→+∞ ex 6 points = xe−x = 0, on a lim f (x) = 1. x→+∞ b. La fonction f est une somme de fonctions dérivables sur [0 ; + i n f t y[, elle est donc dérivable et : f ′ (x) = e−x − xe−x = e−x (1 − x) qui est

+∞ alors limx→+∞f(x)= +∞ Pour tout x≤a : Si f(x) < g(x) , et que limx→-∞gx= -∞ alors limx→-∞fx= -∞ o THEOREME DU GENDARME Pour tout reel x≥a , f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) . Si limx→+∞f(x)= L Et limx→+∞h(x)=L Alors limx→+∞g(x)= L o ASYMPTOTES Verticale : limx→af(x)=+∞ alors la droite d’equation x=a est a.v. a Cf Horizontales : limx→+∞f(x)=a alors la droite d’equation y=a est a.h. a Cf en +∞ Obliques : la droite d’equation y=mx+p est a.o. à Cf ssi limx→+∞ f(x)-(mx+p)=0 o CONTUNUITE

orthogonal O, ı ,  , la courbe représentative C de la fonction f et la droite ∆ d’équation y = 3. ∆ 3 2 1 C -2 → −  → − ı -1 1 2 3 4 1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R. 2. Justifier que la droite ∆ est asymptote à la courbe C . 3. Démontrer que l’équation f (x) = 2, 999 admet une unique solution α sur R. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2 . Partie B Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 3 − f (x). 1. Justifier que la fonction h est positive

Baccalauréat S E XERCICE 3 (6 points) Partie A 1. Puisque lim e−x = 0, il vient, lim f 1 (x) = 1 x−→+∞ x−→+∞ Puisque lim e−x = +∞, il vient, lim f 1 (x) = 0 x−→−∞ x−→+∞ Graphiquement cela signifie que les droites d’équation y = 0 et y = 1 sont deux asymptotes horizontales à C 1 au voisinage respectivement de moins et plus l’infini. ex × 1 ex ex 2. f 1 (x) = x = = e (1 + e−x ) ex + 1 1 + ex −e−x e−x 3. f 1′ = − = . (1 + e−x )2 (1 + e−x )2 Cette expression étant toujours strictement positive sur R, il

( ) On peut alors affirmer que : 1) L’équation f ( x ) = 0 admet : A) 0 solution 2) La courbe C : B) 1 seule solution C) exactement 2 solutions D) 3 solutions ou plus A) n’admet aucune asymptote B) admet une unique asymptote C) admet 2 asymptotes D) admet 3 asymptotes ou plus 3) La tangente à C au point d’abscisse 3 peut avoir pour équation : A) y = 2 x + 4 4) Le réel I = B) y = − x + 5 C) y = −4 D) x = 3 ∫ 7 5 f ( x ) dx vérifie la relation : A) I