Asymptote

R ÝÝ tÑt 6 8xptq Ý Ñ a € R ÝÝ tÑt Si 7y ptq Ý Ñ ¨V ÝÝ tÑt 0 0 0 0 6 8x t , alors Γ admet pour asymptote la droite horizontale d’´quation y e  b. , alors Γ admet pour asymptote la droite verticale d’´quation x  a. e Dans ce cas, la comparaison de y ptq par rapport ` b (resp. de xptq par rapport ` a) au voisinage de t0 donne a a la position de la courbe par rapport ` son asymptote. a R`gle d’´tude (si les deux coordonn´es tendent vers l’infini). e e e t → t0 Si y t x t tion

définie sur IR et deux fois dérivables. Dans la figure ci-contre, on a représenté la courbe représentative (C) de f ’ la fonction dérivée de f. Notons que: * L'axe des abscisses est une asymptote à (C) au voisinage de l'infini. * f '(1)= 2 et f(1)  1 . 2 * La courbe représentative (Γ) de f admet une asymptote horizontale au voisinage de   . 1) Par une lecture graphique, répondre aux questions suivantes: a) Déterminer le sens de variation de f. b) (Γ) admet-elle un point d'inflexion? Justifier

montrer que pour tout réel x de l’intervalle 0,  , on a : f ( x)  b) c) d) e) En déduire le tableau de variations de f. Déterminer le signe de f ( x) pour tout réel x supérieur ou égal à e. Montrer que la droite ‫ 5 − ݔ2 = ݕ :ܦ‬est une asymptote à Cf   Tracer la courbe représentative de f dans  O,i , j  4. Soit h la fonction définie sur l’intervalle 0,  par h( x)   ln x  . a) Calculer la dérivée h  de h. 2 Page 1 sur 6 http://b-mehdi.jimdo.com g ( x) x2 b)

est saisi par l’utilisateur. Exercice 5 : (7 points) On donne . 1. Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition. 2. Ecrire sous la forme . 3. Expliquer pourquoi la courbe représentative de admet une asymptote verticale et une asymptote oblique. 4. Démontrer que la courbe représentative de admet un centre de symétrie. 5. Calculer . 6. Etudier le signe de , puis dresser le tableau de variations de . 7. Construire la courbe représentative de dans un repère orthonormal

fonction exponentielle, où ? est appelé la base. Exemple : Traçons le graphique de ?(?) = 2? . ? → −∞ -10 -1 0 1 4 10 →∞ ?(?) Caractéristiques de la fonction exponentielle ?? : Domaine : Image : Zéros : Ordonnée à l’origine : Signe : Asymptote horizontale : Croissance : ?>1 Cégep Limoilou 0<?<1 ML modifié par VGP 8.2 Transp. des fct. math. 201-026-LI Chapitre 8 Modèle exponentiel et logarithme Notes de cours Hiver 2015 Lorsque la base de la fonction exponentielle est entre 0

u et lim u(x)  0 alors lim f (x)  L .   xa xa Remarque : les résultats marchent encore lorsque l’inégalité n’est vraie seulement que dans un voisinage de a.      3. Asymptote   Dire que la droite d’équation y  ax  b (avec a  0 ) est asymptote oblique à la courbe représentative de f en  (resp. ) signifie que lim  f (x)  (ax  b)  0 (resp. lim  f (x)  (ax  b)  0 ) x    xa x     4. Limite

O. c. Démontrer qu’une équation de la tangente (T ) à la courbe (C ) au point O est y = x. d. Démontrer que : (C ) est au dessus de (T ) sur ]0 ; 1[. 8 (C ) est au dessous de (T ) sur ]1 ; + [ 8 2. Démontrer que la droite (OI) est une asymptote à (C ) en + . 8 3.a. On suppose que f est dérivable sur ]0 ; + [. Vx ]0 ; + 8 1-x (1 + xlnx)2 b. En déduire les variations de f et dresser son tableau de variation. Démontrer que , f’(x) = 4. Construire la droite (T ) et

les x d’un intervalle ] A; +∞[. On note alors : ℓ ∆ O lim f ( x ) = ℓ x A x →+∞ La droite ∆ d’équation y = ℓ est dite asymptote horizontale à C f Remarque : On définit de façon analogue lim f ( x ) = ℓ. x →−∞ 1 1 1 , x → n et x → √ ont des x x x limites nulles en +∞ et −∞ pour les deux premières. Leurs courbes admettent alors l’axe des abscisses comme asymptote horizontale. Exemple : Les fonctions de référence : x → 1.2 Limite infinie à l’infini Définition 2 : Dire qu’une fonction ]

interpréter graphiquement les résultats (lorsque cela est possible). 2. cx + d . x2 + x − 2 b) En déduire que la courbe C f admet une asymptote oblique ∆ (dont on précisera une équation) en +∞ et en −∞. a) Déterminer les quatre réels a, b, c et d tels que pour tout x ∈ R − {−2; 1}, f (x) = ax + b + c) Etudier la position de la courbe C f par rapport à son asymptote oblique ∆. D EVOIR À L A M AISON N °1 À rendre IMPÉRATIVEMENT pour le jeudi 25 septembre 2008. E XERCICE N°88 PAGE 51 Concernant

second degré : g(x) = x2 – 2x – 3 (racines : -1 et 3) f' f -1 | 0  3 | 0 | | y +  2 Il reste donc à rechercher les éventuelles asymptotes de cette fonction. Le calcul nous permet de vérifier que la fonction admet une asymptote oblique en +  : y = x -1 et une asymptote oblique en -  : y = - x + 1 Et nous obtenons ainsi le graphique ci-contre (où les asymptotes et la fonction g(x) ont également été représentées. -2 0 2 4 x -2 -4 3.2 Exemple 2 : Soit la fonction : f : R  R : x  f(x)