Axiomes des probabilités

Ricco Rakotomalala Probabilités et Statistique Notes de cours Université Lumière Lyon 2 Avant-propos Ce document est un support de cours pour les enseignements des probabilités et de la statistique. Il couvre l'analyse combinatoire, le calcul des probabilités, les lois de probabilités d'usage courant et les tests d'adéquation à une loi. Ce support correspond approximativement aux enseignements en L2 de la lière Sciences Économiques et Gestion, Administration Économique et Sociale

MAP 311 - ALEATOIRE - X2010 Sylvie MELEARD - Emmanuel GOBET Introduction aux Probabilités Préambule Cours 7 blocs (cours + PC) Formation Scilab : 31 mai et 1er juin. Contrôle (Hors classement) : 13 juillet. Projet de simulation en binôme : Distribution des projets : le 1er juin. Choix des projets par binôme : avant le 13 juin à midi. Numerus clausus : 11 binômes par projet. Date de remise des projets : 11 juillet. Soutien Projets : du mercredi 15 juin au mercredi 6 juillet en

B. Notion de Probabilité C. Probabilité Conditionnelle – Indépendance A. Notion d’expérience aléatoire Définition (Expérience aléatoire) On appelle expérience aléatoire tout processus qui engendre des résultats ou des observations dont il est impossible de connaître à l’avance l’issue. Exemple lancé d’un dé, d’une pièce de monnaie, choix d’une carte dans un jeu, attente d’une rame de tramway. A. Notion d’expérience aléatoire B. Notion de Probabilité C. Probabilité Conditionnelle

2. Variables aléatoires discrètes…………………………………………………4 2.1. Définition………………………………………………………………………………………………..4 2.2. Loi de probabilité………………………………………………………………………………….4 2.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….5 3. Variables aléatoires continues…………………………………………………7 3.1. Définition………………………………………………………………………………………………..7 3.2. Fonction densité de probabilité………………………………………………………..7 3.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….8 4. Espérance et variance………………………………………………………………11

Mathématiques Bac ST2S Probabilités et statistiques Les probabilités sont souvent considérés comme délicates, voir compliqués, car elles introduisent des notions et des notations spécifique. Pour bien aborder ce chapitre, il faut avoir une idée claire de ces formalisations, les exercices étant souvent des applications directes de formules du cours, plus simples qu’ils n’y paraissent. 1 Probabilités, conditionnement et indépendance a) Vocabulaire On définit P une mesure de probabilité sur les ensembles

modélisée par l’ensemble fondamental Ω et la probabilité P. On considère deux évènements A et B tels que P(A) = 0, 8, P(B) = 0, 4 et P(A ∩ B) = 0, 2. Calculer les probabilités de A ∪ B, A, B, B ∩ A, A ∪ B, A ∪ B, A ∩ B. Remarque : pour chacun des exercices suivants, on commencera par décrire l’ensemble fondamental Ω et par définir une mesure de probabilité P. Exercice 1.3 On considère deux lancers successifs d’un dé non-pipé. Calculer les probabilités des évènements suivants : A =“la somme des faces

on a : ν ( ∞ Ai ) = lim ν ( i=1 n→∞ i=1 n Ai ) = lim ν (An ) n→∞ Ai ) = lim ν ( i=1 n→∞ i=1 Ai ) = lim ν (An ) n→∞ 1. Si ∀i ∈ N, ν (Ai ) = 0 alors ν ( i=1 Ai ) = 0. ∞ 2. Par complémentation si ν est une mesure de probabilité : si ∀i ∈ N, Définition : Soit (Ω, F , ν ) un espace mesuré. 1. A est ν-négligeable pour ν si ∃N ∈ F / A⊂N ν (N ) = 0 ν (Bi ) = 1 alors ν ( i=1 Bi ) = 1 2. A est vraie ν-presque-partout si Ac est ν-négligeable. Définition : C une famille

Introduction Dénombrements (1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles (4) TCL (5) Statistiques (6) Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Frédéric Naud, département de Mathématiques Université d’Avignon Fichier dispo sur http://fredericnaud.perso.sfr.fr/ Frédéric Naud, département de Mathématiques Probabilités et Statistiques L1 Introduction Dénombrements (1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles

′ − d, w − c ′ ), I est l’idemnit´e, c le montant de l’assurance. Rappel : mod`ele EU On suppose que l’agent a des pr´ef´erences sur les actions : ◮ Axiome A1 (compl´etude) : ∀f , g ∈ F soit f ◮ Axiome A2 (transitivit´e) : f ◮ Axiome A3 (continuit´e) : pour tout f , g , h tel que f il existe β ∈ [0, 1] tel que βf + (1 − β) ∼ g . ◮ Axiome A4 (ind´ependance) : si f α ∈ [0, 1] : αf + (1 − α)h g et g g soit g ≻ f . h. g g alors pour tout h et pf + (1 − α)h h Rappel : mod`ele EU ◮ Les

différents montants possibles, chacun d’entre eux ayant une probabilité de réalisation définie. En d’autres termes : une somme est risquée si cette somme est une variable aléatoire dont on connaît la distribution de probabilité pouvant être discrète ou continue. Exemples : N°1 : Le chiffre d’affaires prévisionnel pour l’année prochaine d’une société A ayant deux montants possibles : 1000 avec la probabilité ½ 1500 avec la probabilité ½, est une somme risquée. N°2 : La société B a également,