Base canonique

à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk Eiℓ . Proposition 1 Si An est l’ensemble des matrices nilpotentes, (ou même l’ensemble des matrices telles

R3 de matrice  1 2 3 . Quel est le noyau de b, le rang de b ? 1 3 5 Trouvez une base de l'orthogonal pour b de         1 0 1 1 F = Vec  0  ,  0  , de G = Vec  1  ,  0  . 1 0 1 0 Comparer avec les résultats du cours sur la dimension de l'orthogonal. Exercice 1  Exercice 2 Soit R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 2 à coecients réels. Calculer la matrice dans la base (1, X, X 2 ) de la forme bilinéaire symétrique 1 (P, Q) −→ 0 P (t) Q(t) dt

caractéristique noté χA est scindé sur K, c’est-à-dire de la forme : χA = (−1)p k i=1 (X − λi )ri , avec k, r1 , . . . , rk des entiers de N∗ et λ1 , . . . , λk les valeurs propres de A, éléments de K. On note B la base canonique de Kp et u l’endomorphisme de Kp dont A est la matrice dans la base B. Enfin, pour i ∈ {1, . . . , k}, on note Ci = Ker(u − λi idKp )ri que l’on appelle sous-espace caractéristique de u associé à la valeur propre λi . 7. Démontrer que Kp = C1 ⊕ · · · ⊕ Ck . 8. (a) Soit v un endomorphisme

IdC 2A Jeudi 16 octobre La méthode du simplexe sur un exemple. 1 Mise en place du cadre. On étudie le programme linéaire suivant écrit sous forme canonique : max z = 5x + y   x    30x + y  y sous contraintes   x    y Dénition 1.1 On appelle variable d'écart la quantité mer une contrainte d'inégalité en contrainte d'égalité. ≤ 4 ≤ 150 ≤ 60 ≥ 0 ≥ 0 positive qui permet de transfor- Ici, on a trois contraintes donc on ajoute trois variables

une solution de base admissible avec z = 0, c'est à dire qu'elle fait partie de la zone graphique concernée et qu'elle répond à toutes les conditions posées. On a les variables hors base: x1 , x2 et les variables en base: t1 , t2 , t3 Essayons de faire croître x2 , avec x1 = 0 t1 = 1 –x2 ³ 0 ® x2 £ 1 t2 = 10 –3x2 ³ 0 ® x2 £ 10/3 t3 = 4 ® pas de contrainte On trouve donc une deuxième solution admissible: x1 = 0 , x2 = 1 , t1 = 0 , t2 =7 , t3 = 4 z = 1 = x2 - x1 hors base base On veut écrire

Famille de vecteurs Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs Famille génératrice Famille libre, famille liée Base d'un espace vectoriel Composantes dans une base Soient E un K -espace vectoriel et F=(e⃗ i)i∈I une famille finie de vecteurs de E. Quitte à réindexer celle-ci, on suppose que les éléments de cette famille sont indexés sur l'ensemble I={1,…,n}. On considère donc une famille F=(e⃗ i)1≤i≤n de vecteurs de E qu'on peut encore écrire F=(e⃗ 1,…,e⃗ n). Dans le cas

vectoriel. e (c) L’ensemble des suites convergentes est-il un sous-espace vectoriel ? 3. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 muni d’une base (e1 , e2 ). Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E ? A := {xe1 + ye2 ; 2x − y = 0} , B := {xe1 + ye2 ; 2x − y = 0} ∪ {xe1 + ye2 ; x − 2y = 0} 4. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et de base B = (e1 , e2 ). Les familles de vecteurs suivants de E sont-elles des familles libres ou li´es? Sont-elles des bases ? Pour chacune de

dimension 1: Plus précisément pour toute base B = (e1 ; :::; en ) de E, il existe une unique forme n linéaire alternée valant 1 pour la base B. Cette application s’appelle déterminant dans la base B et on la note detB : De plus : X 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 E n : detB (x1 ; :::; xn ) = " ( ) a1 (1) :a2 (2) :::an (n) où xj = n X i=1 2Sn aij ei ,8 j 2 [[1; n]] Preuve : Notation : Soit (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 E n ; B = (e1 ; :::; en ) une base de E, et : xj = n X i=1 aij ei

coefficients réels. On remarquera que le premier indice dans aij, à savoir i, représente la ligne du coefficient et que le deuxième indice, à savoir j, représente la colonne. Sous cette présentation on dit que le système est mis sous forme canonique. De cette forme canonique, on en déduit la forme dite standard suivante: |a11 |a12 |a13 |a14 | |a21 |a22 |a23 |a24 | |a31 |a32 |a33 |a34 | Dans ce tableau on reconnaît que la première colonne représente les coefficients

fonction polynˆme de degr´ 2 est une fonction d´finie sur R par f (x) = ax2 + bx + c avec a, b o e e et c r´els et a = 0. e 1 Forme canonique La forme canonique de f est de la forme f (x) = a(x − α)2 + β. −b . avec α = 2a Exemple 1 : f est d´finie sur R par f (x) = x2 − 6x + 5 e On a (x − 3)2 = x2 − 6x + 9 donc f (x) = (x − 3)2 − 9 + 5 = (x − 3)2 − 4 (forme canonique avec α = 3 et β = −4) On peut aussi obtenir α avec les coefficients a, b et c. −b −(−6) On a ici : a = 1, b = −6 et c = 9 donc α = = =3