Base de Hilbert

1 x2 π 2 sin(2πnx) sin(2πx). → +∞. 4. En d´duire que la transform´e de Fourier n’est pas un op´rateur surjectif de L1 (R) dans e e e C0 (R). 5. Montrer que son image est dense. Exercice 13 - Une base hilbertienne de L2 (R) - Quatri`me ann´e e e 1. Soit H un espace de Hilbert, et E un sous espace vectoriel de H. (a) Montrer que (E ⊥ )⊥ = E. (b) En d´duire E ⊥ = {0} si, et seulement si, E est dense dans H. e 2. On suppose d´sormais que H = L2 (R). Le but est d’´tudier la famille (xn

Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes de Jacobi et Polynômes de Tchebychev 02 David Hilbert David Hilbert a donné l'impulsion de nombreuses recherches mathématiques du

associée. Un autre aspect de la convexité est la notion de point extrémal, présente au chapitre IX (avec le théorème de Krein-Milman sous-jacent) et au chapitre VI avec la caractérisation des points extrémaux de la boule unité des opérateurs sur un Hilbert, qui fait apparaître des phénomènes nouveaux intéressants (co-isométries vraies) en dimension infinie. 2. Topologie : L’utilisation de la compacité apparaît au chapitre VII avec les opérateurs compacts, dont on sait que la théorie spectrale est proche

7 Espaces de Hilbert 7.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Le cas r´el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.1.2 Le cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Orthogonalit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 7.3 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Deux r´sultats importants sur les espaces de Hilbert e 7.6 Bases hilbertiennes et espaces de Hilbert s´parables .

class svm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2.2 Algorithme du kernel change detection . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 Discrépance moyenne maximale (maximum mean dicrepancy MMD) . . 20 4.3.1 MMD dans un espace de Hilbert à noyau reproduisant . . . . . . 21 5 Évaluation 24 5.1 Données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1.1 Feature extraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 Test sur des lois de probabilités

algébrien Ernst Otto Fischer. Elle commence à travailler sur des théorie d’algèbre avec lesquels elle sera reconnu plus tard. En 1915, elle est remarqué par Hilbert, un des plus grands mathématiciens du 20e siècle. Ce dernier invite Emmy Noether à rejoindre le département de mathématiques de l’université de Göttingen. Elle assiste Hilbert lors de ses travaux et celui-ci essaye de faire beaucoup pour la carrière de Noether. Malgré la loi allemande qui s’oppose au fait qu’une femme soit nommée professeur

d’Ivoire), E-mail : dongohfranck0@yahoo.fr 2 Université d’Abobo-Adjamé, UFR-SFA, Département de Mathématiques et Informatique, 02 BP 801 Abidjan 02, (Côte d’Ivoire), E-mail : dsangare@yahoo.fr. 1 Université Table des matières Sujet : FONCTIONS DE HILBERT ET LARGEUR ANALYTIQUE DES FILTRATIONS DE MODULES iii PLAN DE L’EXPOSE 1 Filtrations 1.1 Notion de Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Anneau de Rees d’une filtration . . . . . .

l’esprit, la preuve doit venir des faits. A l’inverse, ce qui fait le succès de la géométrie, c’est la méthode axiomatique utilisée depuis Euclide, méthode par laquelle on peut démontrer des théorèmes en utilisant uniquement la logique et des axiomes de base. Un exemple célèbre est le fameux : Par deux points, on ne peut mener qu’une droite. Ce qui est remarquable, c’est que dans la démonstration, on se passe de toute vérification par l’expérience. Dans le théorème qui montre que les trois

d’Hermite e 4.1 Classe d’un ´l´ment fini . . . . . . . . . . . . . ee 4.2 El´ments finis d’Hermite . . . . . . . . . . . . . e 4.2.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2.2 Lien avec les ´l´ments finis de Lagrange . ee 4.2.3 Fonctions de base globales . . . . . . . . 4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Exemples 1-D . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Exemples 2-D triangulaires . . . . . . . . 4.3.3 Exemple 2-D rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 4.2 Existence et unicit´ fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 e 4.3 Existence et unicit´ faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 e 5 Calcul stochastique en dimension infinie 5.1 Op´rateurs de Hilbert-Schmidt . . . . . e 5.2 Int´grale stochastique . . . . . . . . . . e 5.3 Formule d’Itˆ . . . . . . . . . . . . . . . o ´ 5.4 Equation de la chaleur stochastique . . . 16 16 17 17 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .