Bijection réciproque

est un COMPACT. Définition 23 (COMPACT en DIMENSION FINIE) Soit A ⇢ Rn . Si A est FERME et BORNE dans Rn on dit qu’il est COMPACT. Remarque 9 ATTENTION : on a toujours la propriété suivante : -Si A est compact alors A est un FERME BORNE. -MAIS la réciproque n’est pas toujours vrai en dimension infinie (elle l’est TOUJOURS par contre dans Rn (ce qui nous intéresse ici)). -Nous verrons quels sont les avantages de la compacité un peu plus tard. Notamment la compacité et la continuité : toute fonction continue

(1) si et seu3 lement si G = O. Si G = O, c’est-à-dire si le centre de gravité G de ABC est confondu avec le centre O du cercle circonscrit à ABC, alors les médiatrices et les médianes du triangle ABC sont confondues, donc ABC est équilatéral. La réciproque est évidente. On conclut que (x,y,z) est solution de (1) si et seulement si le triangle dont les sommets ont pour affixes ei x , ei y , ei z est équilatéral. Autrement dit, l'ensemble des solutions de (1) est : 2π 4π +2kπ, x + +2 π ; (x,k, ) ∈

commencer par le cas où l’ensemble sous-jacent est fini. Théorème de Cantor-Bernstein Soient f : X → Y et g : Y → X deux applications injectives. Construire à partir de f et g une bijection entre X et Y . Indication. Considérer les suites définies par X0 = X \ g (Y ) , Xk+1 = g Yk et Yk = f Xk ; voir que f est une bijection de Xk sur Yk . 1 2 COLLES DE MATHÉMATIQUES Formule du crible Soit Xi i ∈I une famille finie de parties d’un ensemble fini X . Montrer que card Indication. i∈I Xi = J ⊆I

Ellipses BU Maths 19.2 DEL Rappel de cours : Dénombrement  Le nombre d'applications d'un ensmble à p est n . dans lui-même  est p éléments vers un ensemble à n éléments  Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments  bijections de cet ensemble p éléments dans un ensemble n!. n! . = (n − p)! p éléments dans un ensemble à  Le nombre d'arangements injections  d'un ensmble à à n p éléments est An  Le nombre de combinaisons  ou sous-ensembles  à n

3.5.3 Formules élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5.4 Dérivée d'une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5.5 Dérivée d'une fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5.6 Fonction dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 3.5 3.6 Optimisation d'une fonction d'une variable . .

4 Nombres réels Généralités sur les fonctions numériques Limite d’une fonction Fonctions continues Fonctions dérivables Compléments sur les fonctions dérivables Logarithmes et exponentielles Fonctions circulaires et réciproques Fonctions hyperboliques et réciproques Suites numériques Suites particulières Intégrales définies Calcul des primitives Formules de Taylor Intégrales généralisées Équations différentielles du premier ordre Équations différentielles linéaires du second ordre

dimension pour la somme de deux espaces vectoriels 1.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Théorème de la dimension pour les applications linéaires . . . . . 1.5 Annexe au Chapitre 1 : Application réciproque d’une bijection . 1.6 Les fonctions Arctg, Arccos et Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Chapitre 1 sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 4 7 10 13 15

(Xi)i ∈ I une famille d’ensembles, Si I est dénombrable et si ∀ i ∈ I, Xi possède au moins deux éléments, alors est infini non dénombrable. Exemple : Soit I = ℕ, ∀ i ∈ ℕ, Xi = {0,1}, Si A ∈ ℘(ℕ), on lui associe Ceci permet de construire une bijection entre ℘(ℕ) et On peut en raisonnant de même assimiler ℝ à une partie de . 1.2 Tribus, définition. On fixe un ensemble non vide Ω. 1.2.1 Notation : Soit X un ensemble, Xℕ est l’ensemble des suites à valeur dans X. 1.2.2 Définition : Une tribu de

À l'usage des élèves de la classe * /  I G (Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / ).. C 1 À la poursuite de celui qui détermine 1 I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

à la réalité de l'expérience vécue qui est parfois elle-même complexe. La philosophie recherche des significations précise et scientifique dans la mesure des possibilités et de la sensibilité de chacun. Par exemple les notions de continuité, de bijection ou de limite sont en mathématique des termes techniques et définis. Mais l'histoire du concept de limite, qui est liée à celle de l'idée d'infini est en réalité très riche et complexe. Il faut donc prêter une forte attention à l'usage contextuel