Bijection

PHEC1 Symboles de sommation Exercice 1 Ecrire sans le symbole les expressions ci-dessous : 2n+4 5 8 j2 5 2n n 5 n 2x (−1)n i x(1 − x2 )p k2 j 3 n=1 n n + i p=3 i=n i=1 j=3 k=1 Exercice 2 Ecrire les sommes suivantes avec le symbole 1) 25 + 35 + 45 + .. + n5 2) 1 − a + a2 − a3 + ... + (−1)n an 3) a2 a4 a6 a2n + + + ... + 2 4 6 2n 4) 1 2 3 n − + − .. + (−1)n+1 2 3 4 n+1 1 2 22 23 22003 6) + + + + .. + 1! 2! 3! 4! 2004! feuille d’exercices 4 www.mathematiques.fr.st 2003-2004 Exercice 7 Calculer

f ◦ (g ◦ h) et ( f ◦ g) ◦ h. 4. Pour la fonction f : R → R définie par x → x2 représenter et calculer les ensembles suivants : f ([0, 1[), f (R), f (] − 1, 2[), f −1 ([1, 2[), f −1 ([−1, 1]), f −1 ({3}), f −1 (R \ N). 3. Injection, surjection, bijection 3.1. Injection, surjection Soit E, F deux ensembles et f : E → F une application. Définition 3 f est injective si pour tout x, x ∈ E avec f (x) = f (x ) alors x = x . Autrement dit : ∀ x, x ∈ E f (x) = f (x ) =⇒ x = x Définition 4 f est surjective

qu’il y a plus de nombres réels que des nombres naturels ce qui indique pour la première fois qu’il existe des ensembles infinis de différentes tailles. Cantor est aussi le premier à réaliser l’importance de la bijection de laquelle il s’est servi pour sa théorie des ensembles. Une bijection est une fonction bijective pour laquelle tout élément de son ensemble d’arrivée a un seul antécédent, c’est-à-dire qu’il est l’image d’un seul élément de son ensemble de départ. Bref, dans deux ensembles, chaque

restriction de f : E → F à E ⊂ E notée f| E . Définition d’un prolongement. Exemples. 4. Composition : définition de la composée de f par g notée g ◦ f . Associativité et non commutativité (contreexemple sur ). R 5. Injection, surjection et bijection : définitions et négations des trois notions. exp : → ∗ est surjective de dans ∗ et non injective sur . f est bijective de E dans F ssi il existe g : F → E telle que f ◦ g = IF et g ◦ f = IE , on note g = f −1 . Définition d’une involution. Si f involutive

• f est bijective quand elle est ` la fois injective et surjective. a Soit E un ensemble. L’identit´ sur E est l’application IdE de E dans E d´finie pour tout e e x ∈ E par f (x) = x. Th´or`me 1 (caract´risation des bijections) Soit f une application de E dans F . f est e e e bijection si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que f ◦ g = IdF et g ◦ f = IdE . On appelle alors g la r´ciproque de f et on la note f −1 . e 1.2 D´nombrements ´l´mentaires e ee Soit E un ensemble

réalise une bijection de U sur V . On vérifie aisément que U et V sont des ouverts (par image réciproque d’ouverts par des applications continues pertinemment construites) et que ϕ ainsi que ϕ−1 sont de classe C 1 .     u = x + 1 cos(y)  x + 1 cos v − 1 cos(x)   2 2 2 ϕ(x, y) = (u, v) ⇔ ⇔ 1   1  v = y + cos(x)   y = v − cos(x) 2 2 Considérons fv : x → x + =u 1 1 cos v − cos(x) 2 2 Une étude fonctionnelle montre que fv réalise une bijection strictement

PCSI1-PCSI2 DNS n 04 - Cahier vacances ˚ 2011-2012 Ce qui suit fera office de cours sur les notions d’injection/surjection/bijection. Les exercices obligatoires, à traiter en priorité sont les suivants : , , , et et , , , et , , . Les autres exercices n’en sont pas moins intéressants pour autant, et doivent mériter votre attention. 1 Définitions de injection-surjection-bijection On considère une application , où est l’ensemble de départ (ensemble de définition , par . existe (de manière et s’il existe

Soit n un entier naturel non nul. Dénition On note Sn l'ensemble des permutations de l'ensemble {1, ... ,n} c'est à dire l'ensemble des bijections de {1, ... ,n} vers {1, ... ,n}. Proposition 1.0.1 (Sn ,◦) est un groupe. Démonstration L'identité est une permutation de {1, ... ,n} donc Sn n'est pas vide. La composée de deux bijections est une bijection donc on a une loi interne. La composition est clairement associative. L'identité est l'élément neutre pour la composition. Enn, tout élément

déduire que, pour tout    4) Dresser le tableau de variation de f   5) Donne une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1 6) a) Montrer que f réalise une bijection de  sur un intervalle J à préciser.          En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique    b) On note  la bijection réciproque de f. Calculer  7) Tracer (D), (T) et la courbe représentative de  dans de repère .   C) Calcul d'aire : 1) calculer intégrale    2) En déduire l'aire en  de l'ensemble

naturellement un espace vectoriel r´el. Soit E un espace vectoriel complexe. Notons EC son dual et ER le e ∗ dual de E consid´r´ comme espace vectoriel r´el. Pour ∈ EC , notons Re( ) l’application x → Re( (x)). ee e ∗ ∗ 1. D´montrer que → Re( ) est une bijection de EC sur ER . e ∗ ∗ e ` 2. En particulier, ER s’identifie a l’espace vectoriel complexe EC . D´crire directement la structure ∗ ee d’espace vectoriel complexe sur ER , i.e. la multiplication d’un ´l´ment de ER par un nombre complexe. Exercice