Calcul stochastique

Calcul stochastique appliqué à la finance Romuald ELIE Avril 2006 . Ces notes correspondent à un cours donné aux élèves de deuxième année de l’ENSAE. Elles ont pour but de présenter les bases mathématiques des méthodes de pricing et de couverture des produits dérivés. Après l’obtention de la définition mathématique de la notion d’arbitrage, nous étudions les modèles par arbre binomial à 2 puis n périodes. Nous développons ensuite quelques outils de calcul stochastiques nécessaires à l’étude

MAT 5501 Eléments de calcul stochastique et applications à la finance Randal D OUC Avertissement Ce cours reprend la majeure partie de la structure du livre "Calcul Stochastique appliqué à la finance" de Lamberton et Lapeyre. Nous l’avons enrichi de divers points de vue adoptés ici et là, notamment dans les notes de cours de Romuald Elie, Nicole El Karoui, Emmanuel Gobet... Il a bénéficié d’une relecture active de Cyrille Dubarry. N’hésitez pas à communiquer par mail les erreurs qu’il pourrait

La volatilit´ implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3.1 Rˆle de la volatilit´ implicite dans les march´s d’options . . . . . . . . . . . . . o e e 2.3.2 Prise en compte des dividendes dans le calcul de la volatilit´ implicite . . . . . e 2.3.3 Une interpretation de la volatilit´ implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4 Compl´ment: formule de Garman-Kohlhagen et cotation d’options sur taux de change e . . . . . .

Calcul Stochastique pour la finance Romuald ELIE 2 Nota : Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis Comets, Nicole El Karoui, Monique Jeanblanc, Bernard Lapeyre, Damien Lamberton, Steven Shreeve... Je les en remercie. Mea Culpa : Comme dans toutes notes de cours, des erreurs sont encore présentes dans ce polycopié. N’hésitez pas à me les communiquer : elie@ceremade.dauphine.fr. Table

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Quelques notions de calcul stochastique B.1 Intégrale stochastique et calcul d’Itô : . . . B.1.1 Intégrale stochastique : . . . . . . . B.1.2 Calcul d’Itô : . . . . . . . . . . . . . B.2 Equations aux dérivées stochastiques : . . . B.3 Théorème de Girsanov : . . . . . . . . . . . B.4 Théorème de représentation des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’équilibre du régime pour savoir quelle revalorisation on peut attribuer aux assurés, étant donné les informations de court terme et de long terme obtenues. Enfin, ce mémoire présente une alternative au calcul classique des provisions à travers l’obtention d’une distribution à l’aide d’une modélisation stochastique, en effectuant des tirages aléatoires sur la durée de vie des adhérents. L’obtention d’une telle distribution nécessite l’utilisation de technique de simulation telle la méthode de Monte Carlo et

d´termination e ee e du prix des options est un probl`me complexe, qui donne lieu, apr`s mod´e e e lisation stochastique ` l’aide du mouvement brownien, ` la r´solution d’´quaa a e e tions aux d´riv´es partielles depuis le travail fondateur de Black-Scholes [BS73] e e et Merton [Me73]. Nous renvoyons le lecteur ` l’ouvrage de Lamberton et a Lapeyre [LL92] pour une introduction aux m´thodes du calcul stochastique e appliqu´ ` la finance et une description de l’analyse math´matique qui conduit ea e a ` des mod`les

simple puisque l’on suppose que dRt = rt Rt dt, soit Rt = R0 e Rt 0 rs ds , où rt ≥ 0 représente le taux d’intérêt instantanné. Nous supposerons toujours que R0 = 1. Le prix de l’action, {St }t≥0 , est régi par l’équation différentielle stochastique (EDS en abrégé) dSt = St (µt dt + σt dWt ), S0 > 0 donné, où µt est un paramètre réel, et σt ≥ 0 ; le paramètre σ s’appelle la volatilité. Bien évidemment {Wt }t≥0 est un mouvement Brownien standard et nous notons {Ft }t≥0 sa filtration naturelle

sous-jacent rapportera, s’il est exerc´ ` la a e e ea date t, le pay-off ϕ(St ) = (St − K)+ . Nous allons dans cette le¸on apprendre ` calculer le prix d’une c a option am´ricaine et au passage nous decouvrirons quelques beaux outils du calcul stochastique comme e le th´or`me d’arrˆt optimal ou la d´composition de Doob-Meyer des surmartingales. e e e e 6.1 Calcul du prix par r´currence r´trograde e e Comme pr´c´demment, le processus (St ), d´fini pour tout t ∈ [0..T ]δt := {0, δt, 2δt, . .

actif sous-jacent rapportera, s’il est exerc´e ` a la date t, le pay-off ϕ(St ) = (St − K)+ . Nous allons dans cette le¸con apprendre ` a calculer le prix d’une option am´ericaine et au passage nous decouvrirons quelques beaux outils du calcul stochastique comme le th´eor`eme d’arrˆet optimal ou la d´ecomposition de Doob-Meyer des surmartingales. 6.1 Calcul du prix par r´ ecurrence r´ etrograde Comme pr´ec´edemment, le processus (St ), d´efini pour tout t ∈ [0..T ]δt := {0, δt, 2δt, . . . , T