Calcul stochastique

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires AKadrani Institut National de Statistiques et Economie Appliquée (INSEA) Rabat, Avril 2013 Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Introduction Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: 1 Une famille

 Contrôle certificatif de formation Niveau : BTS (Aménagements Paysagers) Module : M41 – CCF n°1 Durée : 2h00 Matériel fourni : formulaire de mathématiques Tous les calculs doivent figurer sur la copie. La note tiendra fortement compte de la rédaction qui devra donc être particulièrement soignée. Exercice 1 : Statistiques à deux variables Le tableau suivant donne l’évolution de la population de l’Inde de 1951 à 1991. Année 1951 1961 1971 1981 1991 Rang 1 2 3 4 5 Population (en millions) 361

TD 25 I) On effectue (2n+1) jets successifs et indépendants d'une pièce de monnaie équilibrée (nN). 1°) Quelle est la probabilité d'obtenir plus de pile que de face au cours des (2n+1) jets?  k  1   2 n 1  n    . (On pourra considérer le 2°) En déduire une expression simple de la somme: S   k k  n 1 2 rang d'apparition du (n+1)-ième pile.) II) Une urne contient 2n boules, 2 numéros de chaque valeur de 1 à n. On en tire 2 successivement avec remise on appelle (X,Y) les deux numéros

Exercice 2 A. Loi normale 1. Calcul de P (9,5 ≤ X ≤ 10,5) La variable aléatoire Xsuit la loi normale N ( 10 ; 0,21 ), la variable aléatoire T = X − 10 0,21 centrée réduite . Si X=9,5 alors T = 9, 5 − 10 =− 0,5 suit la loi normale 0,21 Si X=10,5 alors T = 10, 5 − 10 0,21 0,21 ≃ −2,38. = 0,5 0,21 ≃ 2,38. P (9, 5 ≤ X ≤ 10, 5) =P(−2,38≤T ≤2,38)

binomiale de paramètres n et p et on note: X~>B(n;p) avec P(X=k)=C[k|n].p[k].q[n-k] k=0,1,....,n où q=1-p Exemple : On lance 10 fois un dé. X:nombre de fois ou le chiffre 6 apparait 1) Justifier que X suit la loi binomiale 2) Calculer la probabilité d’avoir: a) 4 fois le chiffre “6” b) au plus 2 fois le chiffre “6”. n = 10 p = 1/6 Réponse question 1 : On répète 10 fois la même expérience de manière indépendante et qui abouti a deux résultats possibles

Ainsi, après avoir vérifié l’ordre d’intégration par le test de Dickey-Fuller (DF) et par le test de Dickey-Fuller Augmenté (DFA), on proccèdera à l’estimation de la relation de long terme par les MCO. A. TESTS DE STATIONNARITE Un processus stochastique Yt, tϵZ est dit stationnaire si ∀t=1,2,…,n, sa moyenne et sa variance sont des constantes, avec des covariances également indépendantes de t. on a les expressions mathématiques suivantes : * EYt= μ

fractionner les 30 résultats en 2 séries de 15 en respectant la règle prescrite (1 résultat de chaque série par bloc). Il est donc possible de déterminer dans l’hypothèse nulle le nombre de telles différences supérieures ou égales à Tl - T2, donc de calculer le risque atta ché à l’hypothèse nulle. l’exemple cité, ce risque est de 5,267% alors que le dépouillement analyse de variance classique à 2 dimensions donne 4,97%. D’autre part, Kempthorne donne une liste de 24 séries de résultats de plans

NOVANCIA 2ème année Le processus de Poisson Exemple : Les arrivées des automobiles à un péage entre 13h et 15h ont été observées pendant une certaine période. On constate que : Il y a en moyenne une arrivée toutes les minutes. Les arrivées au cours d'une période (ici une minute ) sont indépendantes des événements survenus au cours des autres périodes. Dans un intervalle de temps d'une minute, il n'est pas impossible mais rare qu'un autre automobiliste se présente. Le nombre moyen

probabilité de R est égale à 0, 1 et que celle de S est égale à 0, 05. Lorsqu’au moins l’un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée, sinon il est à l’heure. a. Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne. b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au lycée un jour de classe donné. c. Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu’il entende son réveil

probabilités P(V ), PV (T ) , P V (T ). Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités. b. En déduire la probabilité de l’événement V ∩T . 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492. 3. a. Justifier par un calcul la phrase : « Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée ». b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif . PARTIE B On choisit