Carré parfait

1.1 carré parfait Le 19 octobre 2010 UNITÉ 1 - page 4 et 5 Quels objets et figures voyez­vous sur ces photos ?  Que pouvez­vous mesurer  dans ces figures et ces objets ?  Croyez­vous que toutes vos  mesures sont des nombres  entiers ?  Comment calculeriez­vous l’aire  de la surface d’un objet ?  Y a­t­il des objets formés de  plusieurs objets? UNITÉ 1 - Racines carrées Réflichis • Quelle est la longueur d’un côté d’un tapis carré qui couvre une aire de 9 m2 ? 

multipliez le résultat par le nombre de départ, ajoutez 4. Je parie que vous avez un carré parfait! » Soit n un nombre entier choisit par Philippe (nombre de départ). f(n)= (n+4)*n+4 = n2+4n+4 = n2+2*n*2+22 = (n+2)2 f(n) est égale à (n+2)2 (qui et une identité remarquable: (a+b)2). Pour tous nombres entiers n, (n+2)2 s'appelle aussi un carré parfait (carré parfait: un carré parfait est en résumer le carré d'un nombre), donc je vous est éclaircie ce que Philippe a dit à Martine. Exercice

a3 −b3 = (a−b)(a2 +ab+b2 ) et a3 +b3 = (a+b)(a2 +ab+b2 )2 – Trinôme : (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 et (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Remarque : il faut toujours vérifier que le double produit soit présent dans cette somme (différence). – Quadrinôme cube parfait : (a+b)3 = a3 +3a2 b+3ab2 +b3 et (a−b)3 = a3 −3a2 b+3ab2 −b33  Méthode de groupement 1 William Georges Horner, mathématicien anglais, 1786- 1837 On démontre ces formules en développant complètement, par double distributivité, les seconds membres

obtient : (x + 3)² = x² + 6x + 9 _ Développer (3x – 2)² On reconnaît l’identité (a - b)², avec a = 3x et b = 2 On obtient : (3x – 2)² = 9x² – 12x + 4 Attention, le carré de 3x est 9x². _ Développer A = (2x – 3)(2x + 3) On applique la 3ème identité avec a = 2x et b = 3 A = (2x – 3)(2x + 3) = (2x)² - 3² = 4x² – 9 Attention, le carré de 2x est 4x². Factorisation Exemples: _ Factoriser A = x² + 6x + 9 On reconnaît une expression du type a² + 2ab + b² avec a = x et b = 3 Vérifions : a² = x² donc

montrer que [pic] Exercice 10 : Soient 4 entiers naturels consécutifs n, n+1, n+2, n+3 ; [pic]. 1°) a°) Démontrer que[pic]. b°) On pose [pic]. Exprimer en fonction de a le produit [pic]. c°) En déduire que p+1 est le carré d’un entier (on dit carré parfait). 2°) Déterminer n sachant que p=5040. Exercice 11 : Soit a, b, c trois nombres réels non nuls tels que[pic]. Calculer la somme [pic] Exercice 12 : Soit a, b, c trois nombres réels. 1°) Développer [pic] puis[pic]. 2°) Démontrer

complétion de carrée La complétion de carrée est une méthode de factorisation de trinôme de second degré. Elle s’utilise lorsque le trinôme en question n’est pas factorisable par la méthode de somme produit. Prenons l’exemple suivant : x2+6x-32 Ce trinôme est infactorisable (ne peut pas être factorisé) par somme-produit. Nous utiliserons donc la complétion de carré pour réussir à mettre en deux facteurs le trinôme ci-dessus. Le but de la complétion de carrée est d’en fait, créer un trinôme carré parfait

− 16a c + 8ac = 4ac(3a c − 4a + 2c) À RETENIR Lorsque les deux termes de la somme ou de la différence sont des cubes. Écrire le produit de la somme ou de la différence des bases de ces cubes par un trinôme formé du carré du premier terme ± le produit des deux termes + le carré du deuxième terme. = (x + 3)(x − 3) = (4a − 7b)(4a + 7b) 6ab + 3b − 4a − 2 = (6ab + 3b) + (−4a − 2) = 3b(2a + 1) − 2(2a + 1) = (2a + 1)(3b − 2) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) C OMMENT 16a2 − 49b2 = (4a)2 − (7b)2

g(1-) EXERCICE 2 : Résoudre les problèmes suivants après les avoir mis en équation. 1) Je prends un nombre , je lui retranche 7 puis j’élève au carré le nombre obtenu , je trouve le carré du nombre de départ .Quel est ce nombre ? 2) Déterminer les réels x tels que le carré de la somme de x et de 3 soit égal à 16. EXERCICE 3 : ABCD est un carré de côté 4 cm (la figure n’est pas aux dimensions) 1) a) Calculer EK b) En déduire que HE= cm. 2) a) Calculer en degrés les mesures des angles :

Racine carrée A- Définition La racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté 2  x dont le carré est égal à x. Ainsi, pour tout réel positif x,   x  = x et  x≥0 . Attention : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, en effet leur carré est positif. Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits; il est utile de les reconnaître immédiatement : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, etc... En général on ne peut écrire que des valeurs

(6 étant lui-même) Or 1+2+3= 6 donc 6 est nombre parfait. Les diviseurs de 496 sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 Or 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 donc 496 est un nombre parfait. 2) Les diviseurs de 120 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 60 Or 60+40+30+20 = 150 >120 donc 120 n’est pas un nombre parfait 3) A) - Pour n=1 on a 2n+1-1= 2²-1=3 qui est un nombre premier. Donc 21(2²-1)=6. Or 6 est un nombre parfait (q°1) - Pour n=2 on a 2n+1-1= 23 -1= 7 qui est