Cercle de Mohr

sols 1- Notions élémentaires sur la rupture des sols 2- Rappels sur les contraintes - conventions 3- Cercle de Mohr-Coulomb et conséquences 4- Mesure au laboratoire des caractéristiques de rupture 5- Remarques qualitatives Problème de mécanique des sols • tassements admissibles • contraintes appliquées inférieures à la rupture cisaillement 1. Rupture des sols 2. Rappels contraintes 3. Cercle de Mohr 4. Mesure au laboratoire 5. Remarques qualitatives 1- Notions élémentaires - rupture des sols •

Travaux Dirig´s de e M´canique des Solides D´formables e e Maˆtrise/Master de M´canique ı e L. Champaney 10 d´cembre 2003 e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Principe des Puissances Virtuelles Tenseur des Contraintes Cercles de Mohr D´formations e Elasticit´ Lin´aire e e R´solution d’un probl`me d’Elasticit´ Lin´aire e e e e Solutions de St Venant Thermo´lasticit´ lin´aire e e e Probl`mes Plans e M´thodes Energ´tiques : Approximation de Solution e e M´thodes Energ´tiques : Th´or`me

⎡0 τ 0⎤ ⎥ ⎢ = ⎢τ 0 0⎥ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ τ x y 1°) Représenter l'état de contraintes sur les faces d'un cube infiniment petit isolé en P dans les axes xyz. 2°) Déterminer les éléments principaux des contraintes. 3°) Tracer le tri-cercle de MOHR. En déduire les cisaillements principaux en module. RÈPONSES N°1 x C y P G x y τ τ z z IUTB-LYON1-GMP-DDS P τ τ Page 3 TD-2A-S3-F312 x Composante suivant y du vecteur contrainte Φx x

variation de hauteur de l’échantillon en mm. Commentaire. 2 . Pour chaque série d’essai : - Tracer la courbe intrinsèque du sol (de pallier et de pic éventuellement). -Déterminer l’angle de frottement interne correspondant. -Tracer le cercle de Mohr à la rupture pour la contrainte normale = 100 kPa

12 3.1- Sols pulvérulents (c = 0, ϕ ≠ 0) 3.1.1 Surface horizontale a) Rupture correspond à l’état de poussée • lors de l'expansion latérale,σ v' reste constant et σ h' diminue σ v' reste la contrainte principale majeure • lorsque le cercle de Mohr devient tangent aux courbes intrinsèques rupture du sol 13 3.1- Sols pulvérulents (c = 0, ϕ ≠ 0) 3.1.1 Surface horizontale a) Rupture correspond à l’état de poussée • plans de rupture - réseau de surfaces de glissement planes -

horizontale. La contrainte de poussée (active) est Ka = 1 - sinϕ = tan2 ( π − ϕ ) 1 + sinϕ 4 2 σa = Ka γ.h avec : valeur identique à celle donnée par la théorie de Coulomb avec les mêmes hypothèses. Cette formule se vérifie simplement sur le graphique de Mohr de la figure 35 où IA = OA.sinϕ. De même, la contrainte de butée (passive) est Kp = 1/Ka = 1 - sinϕ = tan2 ( π − ϕ ) . 1 + sinϕ 4 σp = Kp γ.h avec : 2 Pour les sols purement cohérents (ϕ = 0). Ka = 1 - 2 c γ.h KP = 1 + 2 c γ.h Pour les sols

sur des éprouvettes de sol saturé. Essais non drainés .................. 6 6.2.1 6.2.2 6.3 Chemins de contraintes des essais triaxiaux de révolution........................................... 7 6.3.1 Chemin de contraintes dans les axes de Mohr τ, σ. ................................................... 7 6.3.2 Chemin de contraintes dans les axes de Cambridge................................................... 8 6.3.3 Chemin de contraintes dans les axes de Lambe ............................

compression, cisaillement, torsion circulaire : définitions – calcul des contraintes et des déformations – analyse de l’état de contrainte, cercles de Mohr – énergie de déformation. 3. Flexion des poutres : définition – flexion pure – flexion simple – moments d’une aire plane – contraintes normales et tangentielles – analyse de l’état de contrainte, cercles de Mohr – énergie de déformation – calcul des lignes élastiques et des déformées. 4. Energie de déformation élastique : formes quadratiques de l’énergie

SYNTHESE 8 Tricercle de Mohr des contraintes (caractérisation graphique) Notion de contraintes EFFORTS Extérieurs (CHARGEMENT) CONTRAINTES DEFORMATIONS DEPLACEMENTS Il se construit aisément à l’aide des contraintes principales Il permet de visualiser l’état de contraintes en fonction de l’orientation de la facette On montre que l’ensemble des vecteurs contraintes en un point P de normale 𝑛 est situé dans une zone délimitée par trois cercles dans un repère (s,t) Les cercles sont centrés sur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8 10 10 12 13 13 14 16 17 17 18 19 19 20 23 23 24 26 27 27 29 29 29 31 31 32 33 35 36 37 38 39 4 Cercles de Mohr 4.1 Propriétés des cercles de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 États de contraintes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Loi 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 de comportement Loi de Hooke