Cercle inscrit

concourantes en un point que l’on appelle centre du cercle circonscrit au triangle (O ci-dessous). C A G B Remarque Les médiatrices d’un triangle équilatéral sont ses axes de symétrie. O C B A Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point que l’on appelle orthocentre du triangle (H ci-contre). C H B A I Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point que l’on appelle centre du cercle inscrit au triangle (I cicontre). B A 324 Séquence

pied de la perpendiculaire menée par M à cette droite D b. Distance d’un point M à une droite D : La distance d’un point à une droite D est la longueur MH, H étant le pied de la droite perpendiculaire à D menée par M c. Tangente à un cercle : La tangente en A au cercle C de centre O est la droite perpendiculaire en A au rayon [OA] III. ANGLES a. Angles de même mesure :  deux angles opposés par le sommet sont égaux Remarque : il ne suffit pas que 2 angles aient le même sommet pour être opposés par

comportent des problèmes de géométrie typiquement japonais qui impliquent en général de nombreux cercles. La preuve des problèmes proposés est rarement donnée. EXEMPLES DE SANGAKU(S) Exemple 1 : Deux cercles de centres O et O’ et de rayons respectifs R1 et R2 sont tangents à une droite en A et B et tangents entre eux. Montrer que AB² = 4 R1 R2 . ou AB = 2 R 1 R 2 Exemple 2 : Trois cercles de centres O1 , O2 et O3 et de rayons respectifs R1 , R2 et R3 sont tangents à une droite et tangents

proposition d) est la bonne réponse. m 3. Étudier et caractériser un ensemble de points I est le milieu de [ AC ] , d’où MA + MC = 2MI . Ainsi MA + MC = 2MI = 2MI . L’ensemble des points M du plan cherché est donc le cercle de centre I et 1 de rayon -- AB . C’est donc le cercle inscrit dans le carré ABCD. 2 La proposition d) est la bonne réponse. m 4. Étudier et caractériser un ensemble de points • Soit G le barycentre du système { ( A ; 2 ) ; ( B ; 1 ) ; ( D ; 1 ) } . On a donc : 2GA + GB + GD

s = x + y, alors x2 + y 2 = s2 − 2s + 2 − 2a. Les r´esultats des deux questions suivantes n’interviennent pas dans le reste de l’exercice. 4. D´eterminer, en discutant selon la √ valeur de √ a, le nombre de points d’intersection de H1 et du cercle de centre O et de rayon 2(1 − a). 5. D´eterminer l’aire du domaine limit´e par H1 et les axes de coordonn´ees. 1 En d´eduire, pour a ∈ , 1 , l’in´egalit´e 4 √ π (1 − a)2 2 L’´equation 1 − a + a ln a. √ π (1 − a)2 = 1 − a + a ln a

réductions Géométrie Géométr ie 12. Propriétés des angles Angles inscrits interceptant le même arc Deux angles inscrits dans un même cercle et interceptant le même arc sont égaux. 14. Droites remarquables d’un triangle H Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point. Ce point est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. M Angle inscrit, angle au centre La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de celle de l’angle au centre qui intercepte

application du plan dans lui-même d’écriture complexe z ' = 3iz − 1 − 7i 1 a) Déterminer les éléments caractéristiques de S. b) Déterminer une équation de l’image de la droite (BC) par S. z B = 2 et zC = 3 − i 2) Déterminer une équation du cercle C ' image par S du cercle C d’équation ( x − 2) 2 + y2 = 1 EXERCICE 2 Les points A, B, C et D ont pour affixes respectives 2 ; -2 -2 i ; et 2 i 1 a) Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe S1 de centre A qui transforme B en C b) Donner l’écriture

| |        AU , BV , CW , HA , HB , HC , HU , HV , HW , AW , AV , BU , BW , CV et CU. | |2: Notant I son centre du cercle inscrit, J l'intersection de la bissectrice intérieure en A et des | |    bissectrices extérieures en les autres sommets, et P , Q les intersections de la droite BC et | |    des deux bissectrices

la longueur d’un rectangle dont le périmètre est 1 dm et dont la largeur mesure 2,1 cm. Exercice 7 : Le périmètre du carré ci-contre est égal en réalité à 32 cm. 1. Calculer la longueur d’un côté du carré. 2. Calculer le périmètre du cercle inscrit dans ce carré. Exercice 8 : On s’intéresse à la zone du terrain gardée par un chien attaché avec une chaîne. La chaîne mesure 2 m, son extrémité A peut coulisser sur un filin d’acier tendu entre B et C ; BC = 8 m. 1. Dessiner et

l’ensemble des points équidistants de A et de B. C’est aussi la droite perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu de [AB]. Propriété : Les 3 médiatrices d’un triangle se coupent en un même point, qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Hauteurs : Définition : La hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Propriété : Les 3 hauteurs d’un triangle se coupent