Cercle inscrit

commun est le centre du cercle circonscrit au triangle. • Les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Leur point commun, appelé centre de gravité du triangle, est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. • Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes. Leur point commun est appelé orthocentre du triangle. • Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes, leur point commun est le centre du cercle inscrit dans le triangle (ce cercle est tangent à chacun des

Remarques :    * l'orthocentre d'un triangle peut être situé "à l'extérieur" du triangle.   * quand on parle de hauteur, il s'agit d'une droite - par exemple, la droite (AH) -, cependant, on nomme souvent "hauteur" la partie de la droite inscrite dans le triangle, c'est-à-dire le segment - par exemple [AH].    Les médianes: (AM) est la médiane passant par A et relative à [BC]; M est le milieu de [BC] alors MB = MC . Une médiane passe par un sommet du triangle et par le milieu du

de la médiatrice de [AB] [pic] Le centre du cercle circonscrit O est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle OA = OB = OC. Par trois points du triangle, il ne passe qu'un seul cercle. [pic] Exercices e) Placer les points A, O, G comme ci-contre dans un quadrillage d'unité 1 cm. Construire le triangle ABC dont O est le point de concours des médiatrices et G le centre de gravité. f) " Soit ABC un triangle et C son cercle circonscrit " Comment tracer rapidement une telle

conjectures avec GeoGebra 1°) a) Construire le triangle ABC (qui est évidement non aplati). b) Construire le cercle inscrit dans ce triangle ABC : on nommera Ω son centre et E, F, G les points de contact respectifs de ce cercle avec les segments [AB], [BC], [CA]. On n’affichera à la fin que le triangle ABC, le cercle inscrit dans ABC, le centre Ω de ce cercle et les points E, F, G. Enregistrez la figure dans votre « H Travail » sur le réseau sous le nom « D10M » ou envoyez-la

des points M du plan tels que MA + MC = AB est : a. la médiatrice de [AC]. b. le cercle circonscrit au carré ABCD. c. la médiatrice de [AI]. d. le cercle inscrit dans le carré ABCD. − − → − → − → − → Le point I est le milieu de [AC], donc MA + MC = 2MI, la condition est donc équivalente à ||2MI|| = AB, ou encore AB AB MI = , ce qui caractérise le cercle de centre I et de rayon , qui n’est autre que le cercle inscrit dans le carré. 2 2 Donc la bonne réponse est d. www.bac-de-maths.fr - Le partenaire

|Un angle droit |Somme de deux angles égale à 90° | | | |Un côté est un diamètre du cercle circonscrit | II Quadrilatères |Parallélogramme |Côtés opposés parallèles |Un centre de symétrie | | |

triangle Page 3 Cours de mathématiques DEMONSTRATION Classe de Quatrième DE LA PROPRIETE DES BISSECTRICES D ’ U N T R I A N G L E Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes. Le point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Figure et données : Données : ♦ [AI) bissectrice de BAC ♦ [BI) bissectrice de ABC ♦ J est le projeté orthogonal de I sur [AB] ♦ K est le projeté orthogonal de I sur [BC] ♦ L est le projeté orthogonal de I sur [AC]

surface Angle inscrit: angle dont le sommet est sur un cercle Arc de cercle: portion d'un cercle limitée par deux de ses points; deux points sur un cercle délimitent deux arc de cercles Bissectrice d'un angle: demi-droite issue du sommet de l'angle et qui le partage en deux parties égales; notez qu'il en existe deux pour chaque angle; la bissectrice d'un angle est son axe de symétrie Les trois bissectrices internes d'un triangle se coupent en un même point, centre du cercle inscrit dans le triangle

équidistant des côtés du triangle. I est le centre du cercle inscrit dans le triangle. P I R IP = IQ = IR C B Q A ► les médiatrices sont concourantes en un point O équidistant des sommets du triangle. O est le centre du cercle circonscrit au triangle. O C B Propriétés s'appliquant au triangle rectangle : ► Si un triangle ABC est rectangle en A alors l'hypoténuse [BC] est un diamètre du cercle circonscrit la réciproque est vraie Si un diamètre du cercle circonscrit à un triangle ABC est un côté [BC]

rectangle2. Bissectrice3. Bissectrices4. Droites des milieux5. Mdiane et hauteur6. Moyennes proportionnelles7. Mdiatrice dun ct du triangle orthique Problmes de construction Construire un triangle rectangle connaissant a. un angle aigu et le rayon du cercle inscrit b. lhypotnuse et la somme des cts de langle droit c. la mdiane et la hauteur relative lhypotnuse Faire des maths avec GoPlan HYPERLINK http//debart.pagesperso-orange.fr http//debart.pagesperso-orange.fr Ce document Word http//www.debart.fr/doc/tr_rectangle