Chaine De Markov

des événements conduisant à l’ENS, conduit à des représentations du type arbres logiques ou réseaux. Ce travail met en œuvre des outils du type Arbres de Défaillances (ADD), Arbres d’Evénements, Arbres Causes-Conséquences, Réseaux de Pétri, Chaînes de Markov, qui permettent aussi de calculer les probabilités de ces événements dans certains cas. 3- Pour déterminer la Gravité des ENS on détermine leur impact sur les cibles. Celui-ci peut être immédiat mais aussi différé traduisant des états de la cible

n’existeraient pas). Cette description est bien entendu valable pour des phénomènes fortuits constitués d’épreuves successives totalement identiques, mais également dans des cas plus généraux où des phénomènes de dépendance apparaissent (chaîne de Markov, mouvement brownien). Cependant, seul le premier cas d’espèce permet de considérer la définition fréquentiste de la probabilité (voir § 2.3). 1.4. Formalisation Une théorie mathématique est par essence abstraite et indifférente à l’existence

s'organise autour des trois points forts suivants : — En algèbre linéaire, la résolution des systèmes d'équations linéaires, le calcul matriciel et la structure vectorielle, ce qui permet l'étude des phénomènes itératifs à plusieurs dimensions ( chaînes de Markov) ; — En analyse, les phénomènes discrets, décrits par des suites, et les phénomènes continus, décrits par des fonctions, l'emploi de représentations graphiques pour l’étude qualitative et quantitative de ces phénomènes, la maîtrise des fonctions

d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Equations Différentielles Stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Propriété de Markov : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.6 Martingale exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lien avec les EDP stochastiques

9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 116 120 124 125 127 127 132 139 141 146 Définitions Processus équivalents Moments Continuités Processus stationnaires Exemples de processus aléatoires Martingale Mouvement brownien Marche au hasard Processus et chaînes de Markov Processus ponctuels Application aux phénomènes d’attente 147 148 149 149 150 153 154 156 157 158 166 170 C Statistique inférentielle 10 • Caractéristiques d’un échantillon. Application aux échantillons gaussiens 10.1 Introduction 10.2 Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Méthodes de quasi Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Ouverture : méthodes fondées sur les chaines de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration numérique des équations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

par des ondes acoustiques, soit par les séquences des éléments qui constituent l’adn, est un enchaînement dans lequel chaque segment dépend du précédent, ce qui est une caractéristique universelle des langages. Ainsi, les théorèmes sur les « chaînes de Markov » se montrent-ils efficaces dans des domaines très variés où l’on souhaite repérer des événements liés par une structure sous-jacente. Tous ces outils sont nés des disciplines réunies sous le nom de « statistiques ». Ces statistiques sont elles-mêmes

i 116 120 124 125 127 127 132 139 141 146 Définitions Processus équivalents Moments Continuités Processus stationnaires Exemples de processus aléatoires Martingale Mouvement brownien Marche au hasard Processus et chaînes de Markov Processus ponctuels Application aux phénomènes d’attente 147 148 149 149 150 153 154 156 157 158 166 170 C Statistique inférentielle 10 • Caractéristiques d’un échantillon. Application aux échantillons gaussiens 10.1 Introduction

1.14 Le processus X = (Ω, F, P, (Xt )t≥0 ) est un processus de sauts markoviens ou processus de Markov si pour tout t > s p.s P (Xt ∈ B|Xu , 0 ≤ u ≤ s) = P (Xt ∈ B|Xs ) , B ∈ B, ou de manière équivalente si P (Xt ∈ B|Xu = xu , 0 ≤ u ≤ s) = P (Xt ∈ B|Xs = xs ) , pour tout B ∈ B et xu ∈ E , 0 ≤ u ≤ s. Définition 1.15 Le processus X à valeurs dans (E , B) dénombrable est une chaîne de Markov si pour tout n = 1, · · · n et tout 0 < t1 < · · · < tn < tn+1 , P (Xtn+1 = xn+1 |Xtn = xn , · ·

Définition 1.14 Le processus X = (Ω, F, P, (Xt )t≥0 ) est un processus de sauts markoviens ou processus de Markov si pour tout t > s P (Xt ∈ B|Xu , 0 ≤ u ≤ s) = P (Xt ∈ B|Xs ) , B ∈ B, ou de manière équivalente si P (Xt ∈ B|Xu = xu , 0 ≤ u ≤ s) = P (Xt ∈ B|Xs = xs ) , pour tout B ∈ B et xu ∈ E , 0 ≤ u ≤ s. Définition 1.15 Le processus X à valeurs dans (E , B) dénombrable est une chaîne de Markov si pour tout n = 1, · · · n et tout 0 < t1 < · · · < tn < tn+1 , P (Xtn+1 = xn+1 |Xtn = xn , · · · , X0 =