Champ scalaire

Nom : Date 1S Chap12 Définition : Si une grandeur physique G prend une valeur en chaque point (x,y,z) de l’espace, on a un ensemble de valeurs G(x,y,z) appelé «champ». Comme G(x,y,z) est un nombre appelé aussi scalaire, on parle de «champ scalaire». Activité 1: Champ scalaire d’altitude. Coupe d’un relief. Pente (figures disponibles en annexe) Les courbes, souvent fermées, figurant sur la carte ci-contre sont des lignes de niveau ou isoclines. Elles peuvent figurer sur de nombreuses cartes

theys@unice.fr R´sum´ — Cet article d´crit une nouvelle classe d’algorithmes e e e d’apprentissage non-lin´aires en ligne avec contrainte de poe sitivit´ sur la solution. Ceux-ci sont appliqu´s au probl`me e e e d’identification distribu´e d’un champ scalaire positif, par e exemple de rayonnement thermique ou de concentration d’une esp`ce chimique, par un r´seau de capteurs. La quese e tion du suivi de l’´volution de la grandeur physique sure veill´e au cours du temps est ´galement consid´r´e

Les m´thodes de d´composition e e Pour illustrer ces diff´rentes m´thodes, nous prendrons ici pour exemple un champ scalaire, e e suppos´ sans bruit, repr´sentant une composante du champ magn´tique terrestre mesur´e en e e e e un nombre fini de localisations g´ographiques r ` la surface de la Terre pendant un temps t. e a 2.1.1 La d´composition en modes propres e Consid´rant le champ magn´tique B(r,t), nous savons que chaque composante est le e e ´ r´sultat d’une superposition lin´aire de termes

fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. MATRICES PLAN I : Matrice associée à une application linéaire 1) Définition 2) Somme de matrices 3) Produit par un scalaire 4) Produit de matrices 5) Rang d'une matrice II : Anneau des matrices carrées 1) Définition 2) Matrice identité 3) Matrices particulières Matrices scalaires Matrices diagonales Matrices triangulaires Matrices nilpotentes Matrices inversibles III : Transposition 1) Définition 2) Propriétés 3) Matrices symétriques et antisymétriques

et concise. Il se définit comme suit :  ∂     ∂x     ∂  ∇=   ∂y       ∂     ∂z  1.2 (1) Travail d'un champ vectoriel le long d'une courbe - Intégrale curviligne Soient un champ vectoriel A et deux points de l'espace Pa et Pb reliés par une courbe C. A chaque point de C, on assigne un vecteur A . Pb A Pa dl Figure 1 Le travail du champ vectoriel A de Pa à Pb le long de C s'écrit ainsi : T= Pb C Pa ∫ C A ⋅ dl (2) On montre que : Pa Pb

nombres π e et e eπ . 3. Montrer que 1 − x ≤ e−x ≤ 1 − x + lorsque 0 < x < 1. x e 4 2 L’ESPACE EUCLIDIEN Un point x de l’espace euclidien ` n dimensions Rn est un n-tuplet : a x = (x1 , x2 , . . . , xn ). L’addition et la multiplication scalaire y sont d´finies par e x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) et λ x = (λ x1 , λ x2 , . . . , λ xn ) respectivement. On peut donc ´crire e n x= j=1 xj ej (n) si ej (n) = (0, 0, . . . , 1, . . . , 0) e (le 1 occupant la

une seule solution de (1.1) définie sur I. Preuve. Voir Chapitre 2. Ce résultat implique que 1. S0 = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t)} est un espace vectoriel de dimension n. Preuve. S0 , muni des opérations somme de deux solutions et produit d’un scalaire λ ∈ K et d’une solution est un espace vectoriel. S0 a dimension n, car si on fixe t0 ∈ I, alors Φt0 : S0 Y → → Kn Y (t0 ) est un isomorphisme linéaire, grâce au théorème 1.1.2. 2. S = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t) + B(t)} = S0 + Y1 , Y1 étant

x + y2 x2 + y 2 u=x , v =y−x déterminer les fonctions f : R2 → R de classe C 1 solution de l'équation aux dérivées partielles : ∂f ∂f + =f ∂x ∂y Exercice 35 [ 01772 ] Analyse vectorielle On appelle laplacien d'un champ scalaire F de classe C 2 le champ scalaire déni −→ − par ∆F = divgrad F . 2 2 a) Montrer que ∆F = ∂ F + ∂ F . ∂x2 ∂y 2 b) Exprimer ∂F ∂ρ Exercice 32 En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R2 \ {(0, 0)} l'équation aux dérivées partielles ∂f ∂f y −x =0

Chapitre 6 Formules int´grales e 6.1 Int´grales curvilignes e Soit γ : t −→ γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) une courbe param´tr´e r´guli`re de e e e e l’espace R3 et V = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs. 6.1.1 D´finition e On appelle int´grale curviligne de V le long de γ, l’int´grale : e e b V · γ dt = P (x(t), y(t), z(t)) x (t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y (t) + γ R(x(t), y(t), z(t)) z (t) dt a Exemple Calculer l’int´grale curviligne

Analyse vectorielle — Étude des champs 2013/2014 CPGE Mathématiques pour la physique ® La norme d’un vecteur est définie par son carré scalaire : → − U → → − − Analyse vectorielle — Étude des champs Note : Selon les normes typographiques actuelles, les grandeurs vectorielles doivent être notées en gras ; → − pour des raisons pédagogiques, elles seront ici notées surmontées d’une flèche : U et non U. On rencontre les deux notations dans les sujets de concours. Les vecteurs