Cocyclique

obligé de raisonner modulo . Cocyclicité 2 D Dénition : Des points sont dits cocycliques lorsqu'il existe un cercle qui les contient tous. Exemple : 3 points du plan sont toujours cocycliques (situés sur le cercle circonscrit au triangle Théorème : Soit 4 points distincts du plan. sont cocycliques ou alignés ssi dém 3 : ) Si Si sont alignés, alors le résultat est clair. sont cocycliques : soit le centre du cercle qui les contient. Par le Th. de l'angle au centre, donc : et

2nde Contrˆ ole de math´ ematiques Exercice 1 On consid`ere dans un rep`ere orthonormal les points A(−1; 2), B(2; 3) et C(0; −1). 1) Quelle est la nature du triangle ABC ? 2) D´eterminer les coordonn´es du point D tel que le quadrilat`ere ABDC soit un parall´elogramme. 3) Calculer les longueurs AD et BC. Que remarque-t-on ? Etait-ce pr´evisible ? −−→ 4 −−→ 5 Exercice 2 Soit ABCD un carr´e. On consid`ere les points E et F d´efinis par BE = BC −→ −→ et AF = 5AB. 1) Faire une

suivant : on consid`re un e e pentagone ´toil´ ABCDE. Soient S1 , S2 , S3 , S4 et S5 les cercles circonscrits aux e e triangles d´finis par les « branches » du pentagone. Alors les points d’intersece tion de chacun de ces cercles avec le suivant sont cocycliques (on prend bien sˆr u les points d’intersection autres que les sommets du pentagone int´rieur). e Cette propri´t´, en apparence assez myst´rieuse, s’inscrit dans un cadre bien ee e plus g´n´ral : ` un nombre n quelconque de droites du plan, on

SAVOIR DEMONTRER QUE DES POINTS SONT COCYCLIQUES* Exemple : Soient, dans un repère orthonormal ( O , I , J ), les points A , B , C et M de coordonnées respectives ( 3 ; 4 ) , ( - 2 ; 3 ) , ( 3 ; - 2 ) et ( 1 ; 1 ). Montrer que A , B et C sont sur un même cercle de centre M. Remarque : Cocycliques Des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle. Deux points sont toujours cocycliques. Trois points non alignés sont cocycliques ( le centre du cercle étant le centre

ils sont égaux Exemples : ˆ ˆ AMB = ANB car ceux sont deux angles inscrits au cercle qui interceptent le  même arc AB • quand quatre points sont sur un même cercle, on dit qu’ils sont cocycliques • quand avec quatre points, on forme deux angles inscrits égaux, alors on peut conclure qu’ils sont cocycliques chapitre 14 Angles et polygones réguliers Exercice : Soit ABC un triangle isocèle en contienne pas A . 1) faire une figure 2) Démontrer que  A . Soit M ∈BC ( un morceau du cercle

------------------------------------------------- Quadrilatère inscriptible Aller à :Navigation,rechercher Quadrilatères inscriptibles En géométrie, un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les sommets se trouvent tous sur un seul et même cercle. Les sommets sont dits cocycliques. Le cercle est dit circonscrit au quadrilatère. Dans un quadrilatère inscriptible (non-croisé), les angles opposés sont supplémentaires1 (leur somme est π radians, soit 180 °). Ou de façon équivalente, chaque angle externe est égal à l'angle interne opposé

la nature du triangle QNP. c) Démontre que (QMN) ⊥ (QNP). 2. a) Démontre que (MK) ⊥ (QNP). b) Justifie que le triangle MKL est rectangle en K. 3. a) Justifie que (QP) et (KL) sont perpendiculaires. b) Déduis-en que les points P, N, K, L sont cocycliques (appartiennent à un même cercle) 4. On désigne par la projection orthogonale sur la droite (QN) et par la projection orthogonale sur le plan

UVW un triangle tel que UV = 20 dm ; UW = 2,1 m et VW = 290 cm. Démontre que le triangle UVW est rectangle. Tu préciseras en quel point. CHAPITRE G1 – TRIANGLE RECTANGLE 143 Triangle rectangle et cercle 1 Vocabulaire 6 Points cocycliques BO = 4 cm ; OA = 6 cm ; BA = 3 cm. O N B M On considère les triangles rectangles suivants : B G IJK est un triangle rectangle tel que : IJ = 12 cm ; E IK = 13 cm et F JK = 5 cm. C A a. Écris trois phrases avec l'expression « ... est

M1 , M2 , M3 et M4 sont cocycliques s’il existe un cercle C passant par ces quatre points. Proposition 8.2.2. Soient M1 , M2 , M3 et M4 quatre points du plan P deux à deux distincts d’affixe respective z1 , z2 , z3 et z4 . Les points M1 , M2 , M3 et M4 sont cocycliques si et seulement si le birapport z4 − z1 z4 − z2 : ∈ R. z3 − z1 z3 − z2 Démonstration. On applique la proposition 8.2.1 avec M3 = A et M4 = B et on en déduit que les −−→ −−→ −− −− −−→ −−→ −− −− Mi sont cocycliques si et seulement si (M1

+2 2 2 3 3 i − 2 2 = 3 3 3i π + 2 2 = 3 + i = ei 6 . 3 2 2 b. A l’aide du dessin, il semble que le centre du cercle en question soit O. On vérifie en effet que OA = OB = OC = OD = 1 : rappelons au passage que e iθ = 1 . Les 4 points sont donc cocycliques (cad sur un même cercle), et appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1. 3. Soit h l’homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l’image de D par h. − = = a. Une écriture complexe de h est donné par z ' w = k ( z − w) cad z ' i