Code de Hamming

Codes et distance de Hamming Les messages transmis sont suppos´es d´ecoup´es en blocs (ou mots) de longueur n ´ecrits avec l’alphabet {0, 1}. Un code (binaire) est un sous-ensemble C de l’ensemble {0, 1}n de tous les mots possibles. On dit que n est la longueur de C. La distance de Hamming entre deux mots x = (x1 , ..., xn ) et y = (y1 , ..., yn ), que l’on notera d(x, y), est le nombre d’indices i tels que xi = yi . C’est bien une distance sur {0, 1}n . La distance minimum du code C est le minimum

utilise un code C(n, k) avec n = k + r. Ann´ee 2003-2004 – p.2/22 Présentation (2) Principe général (suite) : À la réception, on effectue l’opération inverse et les bits ajoutés permettent d’effectuer des contrôles à l’arrivée. Il existe deux catégories de code : les codes détecteurs d’erreurs, les codes correcteurs d’erreurs. Le code de Hamming : un code détecteur et correcteur d’erreurs. Le CRC (Cycle Redundancy Check) : un code détecteur d’erreurs. Ann´ee 2003-2004 – p.3/22 Le code de Hamming

SOMMAIRE Dédicace CHAPITRE I  INTRODUCTION:………………….…………………..………..…….page04 -modélisation :………………………………………..……………………………………………….05 1- code linéaire :…………………………………………………..…………………………………07 2-code systématique :………………. ……………………………………………………………07 3-code en bloc : ……………………………………………………………………………………..09 4-code cyclique :………………………………………………………………………………….…10 5-code de répétition :………………………………………….…………………….……………11 6-distance minimale :………………………………………..…………………………………. 11 7-matrice génératrice :………………………………………

1. : Code de répétition On utilise un code de répétition. Les bits sont envoyés 5 fois avec chaque fois une probabilité p d'être mal transmis. 1/ Dans un tel paquet de 5 bits (c.a.d. 5 répétitions du bit de signal) a. Quelle est la probabilité que 0, 1, 2,..., ou 4 des ces 5 bits sont changés lors de la transmission? b. Quelle est la probabilité que l'erreur de transmission soit détectée ? c. Quelle est la probabilité que l'erreur soit transmise sans être détectée ? 2/ Coder le message

réseau 172.16.128.0/20 ? o 2046 o 4094 o 8190 o 16382 Exercice 2 (5 points):Code de Hamming Considérons qu’on a m un mot de 4 bits de donnée à transférer, et pour cela on aura besoin de 3 bits de contrôle afin de détecter une éventuelle erreur en utilisant le code de Hamming le mot A obtenu ainsi est de 7 bits. 1. On veut envoyer les mots suivant m1=0110 , m2=1010, m3=1011 et m4=1001. Donner les mots codés avec le code de Hamming A1, A2, A3 et A4 A1=1100110 ,A2=1011010 ,A3=0110011 ,A4= 0011001 2. Donner

d’erreur (1 − p)Q + p(1 − Q) + 2n 2−(2n+1) > Pe ! e n Il vaut donc mieux envoyer la majorit´ de blocs de longueur 2n + 1 comme pr´c´demment e e e (en envoyant moins de symboles dans le canal). 3. V´rifier que la probabilit´ d’erreur par bit pour le code de Hamming (7, 4) utilis´ sur un canal e e e binaire symm´trique est: e Pe = 9p2 (1 − p)5 + 19p3 (1 − p)4 + 16p4 (1 − p)3 + 12p5 (1 − p)2 + 7p6 (1 − p) + p7 . • On a vu que si une seule erreur est faite sur les 7 bits, elle est corrig´e. On consid`re e e

d’une chaine de transmission numérique sous SIMULINK/MATLAB Sommaire 1. Présentation de Simulink 4 2. Premier montage 4 3. Deuxième montage 9 1-Avec codage hamming C(7,4) 10 Entrée canal : 10 Sortie canal : 10 Sortie du filtre : 10 Réponse temporelle : 11 2- Sans codage hamming 11 Entrée canal : 11 Sortie canal : 11 Sortie filtre : 11 Réponse temporelle : 12 TEB : 12 Conclusion 13 Figure 13 Tableau 14 Introduction

Plan du cours •  •  •  •  Introduction : Notion de code Définition, distance, effacements et erreurs Code de Hamming Codes détecteurs d erreur –  LFSR et polynômes. Corps de Galois. –  Codes CRC –  Propriétés. Applications •  Codes correcteurs : Code linéaire, Reed Solomon –  Codes cycliques et Reed-Solomon •  Autres codes et applications –  Rafales d erreurs. Code CIRC. 55 Exemple: contrôle de parité dans TCP 7 Application (HTTP,FTP, DNS) 4 Transport (TCP, UDP)

détection: Le code de parité – On rajoute un bit à 1 ou 0 suivant la parité du nombre de bits à 1 dans les données. Le récepteur vérifie la valeur de ce bit de parité. – Exemple: » Données: 1 0 0 0 1 1 Bit de parité: 1 » Données: 1 0 0 1 1 1 0 1 1 Bit de parité : 0 • Qualité de la détection d’erreur ? – Est-on capable de détecter 1 seul bit erroné ? 2 bits ?... © P. Sicard-Cours Réseaux 2 Couche Liaison de données 7 Contrôle d’erreur : un modèle d’étude. • Mot de code Si une trame

de taille 2L muni d’une loi uniforme est ´egale `a L bits. Nous verrons dans le chapitre sur le codage de source que cela nous donne une borne inf´erieure sur le nombre de symboles binaires n´ecessaires pour coder une source discr`ete `a l’aide d’un code de taille fixe. Cette borne sera ´egale au plus petit entier sup´erieur ou ´egal `a log2 K. 2.4. LE CAS CONTINU 17 Th´ eor` eme 2.2 Soit un espace probabilis´e joint discret XY . L’information mutuelle moyenne I(X; Y ) de X et de Y v´erifie I(X;