Coefficient binomial

Exercice n°1 : D’après CCP PSI 2007 On notera au choix les coefficients binomiaux, pour n et p entiers tels que p ≤ n : n n! p   = Cn = p !( n − p ) !  p Soit n un entier naturel , pour p ∈ 0, n , on note Ap = ( aij ) la matrice de M n − p +1 ( ℝ ) dont p+ − le coefficient de la ligne i et de la colonne j est aij = C p +ii+ 1j − 2 avec ( i, j ) ∈ 1, n − p + 1 2 On note d p = det ( Ap ) 1. Calculer les coefficients a1,1 , a1,n − p +1 , an − p +1,1 et an − p +1,n − p +1 2. Calculer

Exercice 2.1 n k2k . Calculer k=1 2.3 2.3.1 Sommes binomiales Coefficients binomiaux Définition 2.1 Factorielle n ∗ Pour n ∈ N , on note n! le produit des entiers de 1 à n i.e. n! = k. On convient que 0! = 1. k=1 Définition 2.2 Coefficient binomial Soit n ∈ N et k ∈ 0, n . ❶ ➀ n k = n(n − 1) . . . (n − k + 1) n! = k! (n − k)!k! Remarque. Lorsque l’on interprétera les coefficients binomiaux de manière combinatoire, on verra que l’on peut convenir que

Coefficients binomiaux. Binôme de Newton I) Coefficients binomiaux : ❖ [pic] On considère un ensemble E à n éléments. Une partie de E à p éléments est un sous-ensemble de E à p éléments. 1° méthode : [pic] : il s’agit du nombre d’ensembles à p éléments pris dans un ensemble à n éléments. De même [pic], ce qui achève la démonstration 2° méthode : Plus subtil : à toute partie A de E à n éléments, on associe son complémentaires qui a n-p éléments. Cette « association »

qui construit et affiche le triangle de Pascal en calculant les coefficients binomiaux: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 . . . On n'utilisera pas de tableau, c.-à-d. il faudra calculer les coefficients d'après la formule ci-dessous, tout en définissant et utilisant les fonctions adéquates. Avec p : le numéro de la ligne, et q : le numéro de la colonne où se trouve le coefficient binomial. Exemple : le coefficient 2 qui est dans la ligne 2 et la colonne 1 est le résultat  de :

. . . . . . . . . . . . . . . page 15 Le binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 2.1 Les coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 2.2 La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k bp+1 = k =0 j k ( −1) p +1− k C p +1a k k =0 C'est-à-dire ℘(p + 1). On en déduit, d'après le principe de récurrence : ¢ ℘(p), ∀p ∈ 0, n j k =0 Ce qui achève la démonstration. Preuve en inversant la matrice des coefficients binomiaux : a0 a1 b0 b1 p k C p bk ∀p ∈ 0, n se traduit alors matriciellement par : k =0 ¢ ¡ Notons An = a2 et Bn = b2 . La relation ap = an bn 1 1 An = MnBn avec Mn = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 Cn 1 2 Cn Cn Les matrices Mn sont

NbreS 4. 4. Une nouvelle loi 4.1. Coefficients binomiaux Pour obtenir les coefficients binomiaux laide de la calculatrice CHEMIN DACCS SUR TEXAS CHEMIN DACCS SUR CASIO math PRB Combinaison OPTN F6 PROB nCr Exemple Exemple Pour obtenir eq b(aachs4co1(42)), on tape Pour obtenir eq b(aachs4co1(42)), on tape 4 math PRB Combinaison 2 et on lit rrondies 10- 4 prs. Comparer avec les rsultats de la question 2. 4.2. Loi binomiale Exprimer la probabilit P(NbreS k)

Écrire une fonction maxfact qui pour un entier k donné en paramètre calcule le plus grand entier n tel que n! ≤ k. Peut on améliorer la complexité de cette fonction ? Exercice n° 4 (Coefficients binômiaux) Utiliser la fonction fact de l'exercice précédent pour écrire une fonction binome qui calcule les coefficients du binômes Cnp = n!/((n-p)!p!). Quelle est la complexité de cette fonction ? Quelle est la valeur maximale calculable ? Proposer d'autres méthodes (non récursives) plus économiques et

également aux coefficients binomiaux : Question: Un code binaire est une suite (ou un vecteur) constituée des chiffres 0 et 1.On considère des codes binaires de longueur 12. Combien y-a-t-il des codes contenants exactement 4 fois le chiffre 1? Réponse: C412 = 495. Noter l’équivalence au problème de comité : On choisit 4 positions (membres) sur 12. Généralisation: code binaire de longueur n contenant k fois « 1 », 0 ≤ k ≤ n: Ckn. 6 I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux Théorème : (Formule

dans 'pqrstuv'. Ainsi vous comprendrez mieux les idées de base.) Exercice 1. Mémoïzation (et le triangle de Pascal) Ceci est un rappel ! (Nous avons déjà fait un exercice similaire, avec la suite de Fibonacci). le développement binomial : (a+b)n=∑m=0n(nm)ambn−m utilise les coefficients binomiaux (ou de Newton) (nm), ou Cmn.  Ils s'expriment par (nm)=n!m!⋅(n−m)!, mais peuvent être définis récursivement :  (nm)=(n−1m−1)+(n−1m), avec (n0)=(nn)=1. Implémenter la procédure bino(n,m) qui calcule et retourne Cmn. Vérifier