Colinéarité

13_L'estimation 1 /1 • Si T est efficace pour /z(0) et si - ~ l1(X;) est exhaustif alors: ll i =1 = h(6) 1 W(8) et a'(8) T 1/ 2: a(X =- i) lI i =[ L'inégalité de FDCR étant une inégalité de Schwarz, l'égalité n'est réalisée que s'il y a colinéarité pour presque tout e, c'est-à-dire: a ln L -- = a8 À{S)[T - h(8)1 Il Or. si L = IIexp(a(xi)a(8) + + 13(8) b(Xi)) on doit avoir: i=J Il 2: [/(Xi) ln L = a(8) Il ;=1 i=l éJlnL -- et: ae = Il a'(8)2:a(x;) + ~b(Xi) + "13(0)

1. Pour montrer que les droites ne sont pas parallèles il suffit de montrer que les vecteurs u 1 et u 2 ne sont pas colinéaires ; le meilleur moyen de le faire est de calculer leur produit vectoriel : non seulement sa nullité caractérise la colinéarité des vecteurs mais en plus ce vecteur dirige : nous allons ainsi faire d’une pierre deux coups. Soit v = u 1 ∧ u 2 . Alors : v = −i + 2 j + k . v = 0 donc les droites D1 et D2 ne sont pas parallèles : elles possèdent / donc bien une unique

(b) u × (v + w) = (u × v) + (u × w) (c) (u + v) × w = (u × w) + (v × w) (d) k(u × v) = (ku) × v = u × (kv) (e) u × 0 = 0 × u = 0 4.3. LE PRODUIT VECTORIEL (CROSS PRODUCT) 57 (f ) u × u = 0 . La notion de produit vectoriel est liée à celle de colinéarité par le théorème suivant : Théorème 4.13. Soient u et v deux vecteurs non nuls de l’espace de dimension 3. Les affirmations (1) et (2) sont équivalentes : (1) u et v sont colinéaires (c’est-à-dire u = v) (2) u × v = 0. Démonstration. (1) =⇒ (2) :

+ w) = (u × v) + (u × w) (c) (u + v) × w = (u × w) + (v × w) (d) k(u × v) = (ku) × v = u × (kv) (e) u × 0 = 0 × u = 0 4.3. LE PRODUIT VECTORIEL (CROSS PRODUCT) 57 (f ) u × u = 0 . La notion de produit vectoriel est liée à celle de colinéarité par le théorème suivant : Théorème 4.13. Soient u et v deux vecteurs non nuls de l’espace de dimension 3. Les affirmations (1) et (2) sont équivalentes : (1) u et v sont colinéaires (c’est-à-dire u = v) (2) u × v = 0. Démonstration. (1) =⇒ (2)

considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives : a = 2 + 2i ; b = − 3 + i ; c = 1 + i 3  ; d = –1 + 3 i et 2 e = –1 + (2 + 3)i . 1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés. Polynésie (juin 2013) La bonne méthode 1. Utiliser la colinéarité des vecteurs. 2. Calculer et comparer les valeurs BE2, CE2 et DE2. d) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle. Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est

taux d'inflation et, de façon marginale, comme catalyseur du mouvement d'amélioration de la gestion des fonds libres. La dissociation de ces deux variables parait donc problématique à la fois pour des raisons statistiques, à cause de leur forte colinéarité, et économiques, dès que l'on suppose une absence d'illusion monétaire. Comment, toutefois, prendre en compte ces deux variables sans détériorer les résultats des estimations ? La réponse la plus simple, mais la plus efficace, consiste à ne retenir

: γ ( P) = λ OP avec λ ∈ IR . Le mouvement à accélération centrale est un mouvement à trajectoire plane, il résulte de la → → −→ d 2 OP condition de la colinéarité que donne l'équation : OP ∧ γ ( P) = 0 avec γ ( P) = dt 2 d OP En dérivant l’expression vectorielle OP ∧ et en tenant compte de la condition de dt colinéarité entre le vecteur position et le vecteur accélération, nous obtenons : −→ −→ −→ → → → −→ 194 UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département

= u r ; ZFC = – ur ; ADF = 2ur ; AEA = – 2ur . 3 ΂ ΃ ΂ ΃ 1 1 1 1 iw 3 ; 3 ; et 2 × 1 + 2 × 3 ; 2 × 1 + 2 × (– 2) = (3,5 ; 1). 3. ru(1 ; 0) ; rv(1 ; – 3) ; iw(0,5 ; – 1,5) ; et(2,5 ; – 1,5). Chapitre 7. Vecteurs • 63 c 5 Colinéarité de deux vecteurs 60 1. 2. 3. N 47 pSB = 2oEL ; pCI = 1 S p B; 2 1 pSE = ACL ; ACL = 2oIB ; oEI = 2ALB. 2 3vr 48 1. On a ZAB = 2 EAC, donc ZAB et EAC colinéaires. P 3 2. Construction simple. ru A – ru 49 EAC = – 2

gènes Hox. La sensibilité des gènes Hox à l’acide rétinoïque dépend de la position de ces gènes sur le chromosome. Cette position des gènes est associée à la succession des territoires d’expression des gènes dans l’ébauche du membre. Cette règle de colinéarité spatiale se retrouve dans l’embryon lui-même, la sensibilité étant maximale dans la zone antérieure de l’embryon. 589 fiche 248 Le déterminisme du sexe chez l’Homme Chez l’Homme, le sexe de l’enfant se détermine durant la vie embryonnaire

moindres carrés. Cette version s’écrit alors q X Y t = ® + °Xt + ¯ j (Xt¡j ¡ Xt ) + "t où ° = ¯ 0 + ¯ 1 + ::: + ¯ q : j=1 L’avantage de cette écriture est que l’écart type de b est disponible immédiatement dans les résultats de la régression. ° La colinéarité peut être un problème important si l’on s’intéresse aux ¯ j . L’approche la plus connue pour résoudre ce problème consiste à employer les retards échelonnés polynomiaux, ou P DL. Ces derniers sont quelquefois appelés retards d’Almon, suite à l’article