Combinaison convexe

des ensembles et des fonctions convexes, constitue une branche de la géométrie et de l'analyse qui unie des phénomènes à première vue totalement dissemblables. Elle intervient à divers niveaux dans des branches très variées des mathématiques (théories des nombres, problèmes combinatoires, théories des jeux, optimisation, analyse fonctionnelle... ), de la phisique et aussi en économie. Minkowski (1864-1909) fut le premier à étudier systématiquement les ensembles convexes et ses oeuvres contiennent la

l’ensemble des solutions. Si est vide, le problème n’a pas de solution réalisable. Sinon le problème possède une solution optimale, à moins que Z ne soit pas borné sur . On distingue les contraintes lâches et saturées. Propositions est un polyèdre convexe (par construction). S’il existe une solution optimale finie, c’est un sommet de . Forme canonique & standard Transformation d’écriture et Forme standard  Un problème est dit sous forme standard si et seulement si toutes les vraies contraintes

´ Exercices - Denombrement : ´nonc´ e e ´ Denombrements pratiques Exercice 1 - Groupe d’´tudiants - L1/Math Sup/Pr´pa HEC e e A leur entr´e en L1, les ´tudiants choisissent une langue (anglais ou allemand) et une option e e (informatique, chimie ou astronomie). Dans un groupe d’´tudiants, 12 ´tudiants sont inscrits e e en astronomie, 15 en chimie, 16 ´tudient l’allemand. Par ailleurs, 8 inscrits en astronomie et 3 e inscrits en informatique ´tudient l’anglais, 6 inscrits en chimie

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 OPTIMISATION 43 5.1 Extremums locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 TRANSFORMATIONS DE L’ESPACE EUCLIDIEN 6.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Transformations

permettre d’enrichir e e une le¸on sur le sujet avec des applications de haut niveau. c Les r´sultats ´nonc´s pourront notamment ˆtre utilis´s dans les le¸ons suivantes : e e e e e c – Fonctions monotones, fonctions convexes, exemples et applications, – Parties convexes, fonctions convexes d’une ou plusieurs variables, applications – Barycentres dans un espace affine r´el de dimension finie ; convexit´. Applications. e e mais aussi, entre autres, – Applications diff´rentiables d´finies sur un ouvert de Rn

Si [pic] est vide, le problème n’a pas de solution réalisable. Sinon le problème possède une solution optimale, à moins que Z ne soit pas borné sur [pic]. On distingue les contraintes lâches et saturées. Propositions - [pic] est un polyèdre convexe (par construction). - S’il existe une solution optimale finie, c’est un sommet de [pic]. Forme canonique & standard Transformation d’écriture - [pic] - [pic] - [pic] et [pic] - [pic] Forme standard  Un problème est dit sous

m´thode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . e 9.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 FONCTIONS CONVEXES 93 10.1 La notion de convexit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 e 10.2 Fonctions d´rivables convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 e 10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Table des figures 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 La droite r´elle . . . . .

L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . II.6 Dérivabilité forte et dérivabilité au sens de Schwarz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . .

free.fr/ http://quedisentleseconomistes.blogspot.com/ Outils mathématiques à connaître : 1) Etude d’une fonction : - calcul de la dérivée première (fonction croissante si f’(x)≥0 et décroissante si f’(x)≤0) - calcul de la dérivée seconde (fonction convexe si f’’(x)≥0 et concave si f’’(x) )≤0) - recherche des extremums : recherche des points d’annulation de la dérivée et définition du type d’extremum (maximum si f’’(x)<0 et minimum si f’’(x)>0) 2 2) Résolution d’un programme de maximisation Exemple

Nous en déduirons les stratégies à appliquer. Chapitre 2 : Concepts Ensemble convexe[1]: On appelle ensemble convexe [pic] un ensemble de points tels que : [pic] Base1: On dit qu’une famille de vecteurs [pic] d’un espace vectoriel [pic] est une base de [pic] si c’est une famille libre et génératrice de [pic], c'est-à-dire si tout vecteur de [pic] s’écrit d’une manière et d’une seule comme combinaison linéaire des vecteurs de la base [pic]. Matrice d’une application linéaire1: Soient