Combinaison Productive

Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Espace des solutions d'un système d'équations linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance linéaire 6.4.1 Interprétation géométrique de la dépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 81

et une technologie novatrice basée sur les commentaires et réactions des athlètes, entraîneurs et scientifiques sportifs. Leur but était de développer la combinaison et l’équipement les plus rapides pour aider chaque nageur à nager encore plus vite. A. Propriétés de la combinaison 1) Composants et spécificités La combinaison de Speedo la LZR Racer est composée de plusieurs matières qui sont toutes spécifiques à des actions et parties du corps. Ce maillot révolutionnaire est fabriqué

considéré est : E = IR3 10(2,−1,3) = (20,−10,30) (1,0,2)+(5,1,−12) =(6,1,−10) 16 21/10/2010 1. Notion de combinaison linéaire Définition Soit E un espace vectoriel sur IR. n n n n 2 u ,u 1 1 1 1 , … , u sont n vecteurs de E v est un vecteur de E n n n n n 2 2 2 2 1 1 1 1 ⇔ ∃ α , α , … , α ∈ IR tels que : v=α1u1+α2u2+...+αnun 2 v est combinaison linéaire de u , u 1 1 1 1 , … ,u 17 21/10/2010 Exemple (voir Exercice 1, TD) On considère dans suivants

Exercices - Familles libres - liées - génératrices - Bases : corrigé Exercice 1 - Combinaisons linéaires - L1/Math Sup On se demande s’il existe x, y ∈ R tel que u = xu1 + yu2 . 1. On doit résoudre le système 1 = x + 2y 2 = −2x + 3y Effectuant L2 + 2L1 → L2 , on trouve qu’il est équivalent à 1 = x + 2y 4 = 7y On peut donc trouver y, puis x : u est bien combinaison linéaire de u1 et u2 . Une façon plus abstraite de voir les choses est de remarquer que u2 n’est pas proportionnel à u1 . Ainsi, (u1

. Puis montrer que ( 1 , 2 ) est une base de R2 . A2) Exprimer le vecteur e1 (resp. e2 ), comme combinaison lin´aire des vecteurs e Soit f : R2 → R2 , l’application lin´aire d´finie par f ( 1 ) = e e 1 1, 2. et f ( 2 ) = − 2 . A3) Pr´ciser la matrice A de f dans la base ( 1 , 2 ). Calculer A2 . Que pouvez vous dire de e f ◦f ? A4) Exprimer le vecteur f (e1 ) (resp. f (e2 )), comme combinaison lin´aire des vecteurs de e1 , e2 . e A5) En d´duire B la matrice de f dans la base (e1 , e2 ). Quelle

Terminologie A(γ) : polynôme caractéristique ; A(γ) = 0 : équation caractéristique ; γ1 , γ2 , . . . , γn : valeurs caractéristiques, ou valeurs propres ; k k k γ1 , γ2 , . . . , γn : modes caractéristiques, ou juste modes ; La réponse y0 [k] est une combinaison linéaire de modes caractéristiques. 13 / 49 Systèmes linéaires en temps discret I Réponse entrée-nulle Exemple On résolut y [k] − 0,2y [k − 1] − 0,24y [k − 2] = 0 pour y [−2] = 3, y [−1] = 0,8; Valeurs propres : γ1 = −0,4, γ2 = 0,6 ; Modes

= y – 1 est une équation équivalente à x – y = -1 2x + y = 4 x=y–1 2x + 3y = 7 x + 0.5y = 1.5 2x + 3y = 7 2x + y = 3 2x + 3y = 7 est une équation équivalente à x + 0.5 y = 1.5 Manipulation B : substitution Manipulation C : combinaison linéaire    2x+y=4 x=y–1    2(y–1)+y=4 x=y–1 On peut remplacer une des deux équations d’un système par la somme ( ou la différence ) des deux équations du système. Il faut alors absolument garder l’autre équation.

ajoute à l’un quelconque des vecteurs xi une combinaison linéaire des autres. iv/ Si l’on multiplie l’un des vecteurs xi par un scalaire alors detB (x1 ; :::; xn ) est multiplié par : v/ Si 2 Sn , on a : detB x (1) ; :::; x (n) = " ( ) detB (x1 ; :::; xn ) : Preuve : Ces proporiétés découlent directement du fait que detB est une forme n linéaire alternée. Remrques 2 : 1/ La propriété (iii) est de grande utilité, car elle permet, à l’aide de combinaisons astucieuses de faire apparaitre des zéros

cynique, tente de proposer des solutions quant à la survie des hommes sur une planète qu'ils ont détruite. Dans la série photographique Atom Sttit Project, Chernobyl (Tchernobyl, Projet de Combinaison d'Atom ; en référence et hommage au célèbre robot Tetsuwan Atom, soit Astroboy), protégé des radiations par sa combinaison de survie jaune bricolée par ses soins, il pose le temps d'une photographie devant la centrale macabrement célèbre. Yanobe réalise depuis près de vingt ans d'étranges machines où il

éléments de L. I.B.2) L’ensemble des matrices triangulaires inférieures vérifie P1 : il contient la matrice E1,1 qui est de rang 1. Il vérifie P2 et P3 car il contient la matrice identité I (de rang n). C’est un sous-espace vectoriel de E (une combinaison linéaire de matrices triangulaires inférieures est encore triangulaire inférieure), donc L vérifie P4 . Enfin il vérifie P5 : un produit de matrices triangulaires inférieures est aussi une matrice triangulaire inférieure. Prouvons ce fait brièvement