Combinaison Productive

NOTATIONS EXEMPLES DE LOIS DE COMPOSITION PARTIE STABLE POUR UNE LOI DE COMPOSITION PROPRIETES USUELLES DES LOIS DE COMPOSITION STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL REEL HOMOMORPHISME D’ESPACES VECTORIELS MATRICE ASSOCIE CANONIQUEMENT A UN SYSTEME DE VECTEURS COMBINAISON LINEAIRE DE VECTEURS D’UN ESPACE VECTORIEL SYSTEME GENERATEUR OU FAMILLE GENERATRICE DEPENDANCE LINEAIRE ORDRE ET RANG D’UN SYSTEME DE VECTEURS BASE D’UN ESPACE VECTORIEL CALCUL PRATIQUE 14 15 16 18 20 20 21 ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE

système d’équations linéaires homogènes à p variables. Alors l’ensemble des vecteurs solutions est un sous-espace vectoriel de COMBINAISONS LINEAIRES Définition Soit un entier, soient, n vecteurs d’un espace vectoriel E. Tout vecteur de la forme : (oùsont des éléments de K) est appelé combinaison linéaire des vecteurs . Les scalaires sont appelés coefficients de la combinaison linéaire. Remarque : Si n = 1, alors et on dit que u est colinéaire à. CARACTERISATION D'UN SOUS-ESPACE VECTORIEL Théorème

quatre-vingt-dix minutes. La combinaison doit donc compenser ces différences. En outre, elle fournit une réserve d’eau et d’oxygène ainsi que le moyen d’approvisionner et d’évacuer les liquides et les gaz. La pression gazeuse n’y est que de 30 % de celle de la Terre ou de la Station spatiale. L’HOMME DANS L’ESPACE Sur cette photographie, prise depuis la Station spatiale internationale, on peut observer un des membres de l’équipage en sortie extravéhiculaire. Celui-ci est équipé d’une combinaison spatiale adaptée

DES MATIÈRES Table des matières 1 Algèbre linéaire 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . 1.1.4 Combinaisons linéaires de vecteurs 1.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Familles libres . . . . . . . . . . . 1.2.2 Familles génératrices . . . . . . . . 1.2.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Théorèmes fondamentaux . . . . . .

Exercice2 : Lors de la mission Apollo, les astronautes étaient équipés, pour leur sortie sur la Lune, d’une combinaison spatiale de masse m = 60,0 kg. a)- Calculer le poids PT (m) de cet équipement sur Terre, puis le poids PL (m) sur la Lune. b)- Quelle est la masse m’ d’un objet dont le poids PT (m’) sur Terre est égal au poids de la combinaison spatiale sur la Lune ? c)- La combinaison spatiale peut-elle être portée plus commodément sur la Terre ? Sur la Lune ? Justifier la réponse.

Eléments neutre : o+u=u Multiplication par un réel : δxv=δv Base et repère de G espace vectoriel Base de G On appelle famille générative un ensemble de vecteur tel que tout élément de l’espace vectoriel, puisse s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de ces vecteurs. V=δ1v1+δ2v2+δ3v3 Si (v1, v2, v3) sont orthogonaux deux à deux et == → Base orthonormée Repère de G So on particularise un point O de G pour ne considérer que des bipoints ayant que ce point O pour origine alors n’importe

cours Cours magistraux (26h) Travaux dirigés (14h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : Espaces vectoriels réels I- Structure d’espace vectoriel réel II- Sous espaces vectoriels III- Combinaison linéaire - Système générateur IV- Système libre - système lié V- Ordre et rang d’un système de vecteurs VI- Base d’un espace vectoriel VII- Espace vectoriel de dimension fini Chapitre 2 : Applications linéaires I- Définitions et généralités II-

λ1x1 + ... + λpxp    λp  Imf est le sous-espace vectoriel de E engendré par (x1, ..., xp). f est surjective si et seulement si (x1, ..., xp) est un système générateur de E.   -4-  λ1  Kerf est l'ensemble des  ...  donnant une combinaison linéaire nulle de (x1, ..., xp). f est injective si et    λp  seulement si (x1, ..., xp) est un système libre. f est bijective si et seulement si (x1, ..., xp) est une base de E. PROPOSITION Soit f linéaire de E dans F et b élément de F. Alors

famille (x, f (x)) est libre, calculons f (x + y). D’une part, f (x + y) = λx+y (x + y) = λx+y x + λx+y y, d’autre part, f (x + y) = f (x) + f (y) = λx x + λy y. Puisque la famille (x, y) est libre, toute décomposition d’un vecteur à l’aide de combinaison linéaire de ces vecteurs est unique. On obtient donc λx = λy = λx+y , ce qui est le résultat voulu. http://www.bibmath.net 1 Exercices - Applications linéaires : études théoriques : corrigé Exercice 4 - Factorisation et inclusion de noyaux

comme tout le monde. Les Cancers offrent des visages changeants, impénétrables. ( POISSONS – 19/2 – 20/3 Il existe deux sortes de Poissons : ceux qui sont énigmatiques, réservés, et ceux, au contraire, expressifs et extravertis. L’idéal serait la combinaison des deux. ( VIERGE – 22/8 – 22/9 Les Vierges sont lucides, très organisés et sérieux. On les reconnaît à leur air sérieux et mélancolique. D’humeur capricieuse, ils prennent vite la mouche. ( TAUREAU – 21/4 – 20/5 Lents, calmes, patients, les Taureaux