Combinaison spatiale

4. Pour i ∈ {1, . . . , r}, on définit le polynôme li de Rr−1 [X] par : r li (X) = k=1 k=i X − λk . λi − λk (a) Calculer li (λj ) selon les valeurs de i et j dans {1, . . . , r}. (b) En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des polynômes li avec i ∈ {1, . . . , r}. 5. Une propriété de l’exponentielle : soit P une matrice inversible de Mn (R) et D une matrice de Mn (R). (a) Justifier que l’endomorphisme de Mn (R) défini par M → P M P −1 est une application continue

raison de sa simplicité. Il existe une infinité de bases de R2, mais toutes les bases sont formées de 2 vecteurs indépendants. Si v = [pic], v est un vecteur de R2 car v a deux composantes (1 et 2). Tout vecteur de R2 se met sous la forme d’une combinaison linéaire unique des vecteurs d’une base quelconque de R2 (théorème). En particulier v = 1 * e1 + 2 * e2. Comme v = 1 * e1 + 2 * e2, on peut donc écrire que : f(v) = f(1 * e1 + 2 * e2 ); Comme f est une application

ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons linéaires de termes en et , dont on connaît une primitive. Voici un exemple. D'où une primitive de : Observons

Primitives usuelles C d´signe une constante arbitraire. Les intervalles sont ` pr´ciser. e a e eαt dt = tα+1 tα dt = +C α+1 eαt +C α (α ∈ C∗ ) dt = ln |t| + C t (α = −1) dt 1 1+t = ln +C 1 − t2 2 1−t dt = Arctan t + C 1 + t2 √ √ dt = ln t + t2 + α + C t2 + α dt = Arcsin t + C 1 − t2 ch t dt = sh t + C cos t dt = sin t + C sh t dt = ch t + C sin t dt = − cos t + C dt = th t + C ch2 t dt = tan t + C cos2 t dt = −coth t

MARINE. Introduction. La plongée sous-marine consiste en général à rester sous l'eau, en respirant, soit à l'aide d'un narguilé, soit le plus souvent en s'équipant d'un scaphandre autonome. Le matériel spécifique se compose généralement d'une combinaison isothermique, d'un masque, d'un tuba, de palmes, d'un lestage porté sur une ceinture ou intégré dans le gilet, d'un gilet stabilisateur équipé d'un direct system, et d'une bouteille de plongée contenant généralement de l'air comprimé autour de 200

tous les élèves de première, nous avons réalisé, avec mes camarades, par groupe de trois, un TPE portant sur les combinaisons de natation. Ce sujet répond au thème suivant : "matière et forme". Les matières concernées sont donc la physique et l'ECJS. La problématique dégagée est : Dans quelle mesure l'évolution de la législation a-t-elle eu un impact sur l'utilisation des combinaisons d'un nageur en compétition ? I. Choix du sujet Notre groupe ce constitue de trois élèves : Bastien Podvin

Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Espace des solutions d’un système d’équations linéaires homogènes 6.3 Combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Interprétation géométrique de la dépendance linéaire . . . . . . . . 6.5 Bases et dimension

0) pour le vecteur nul. On dit aussi que − → − → λ1 x1 + · · · + λp xp est une combinaison linéaire. Plus précisément, c’est la combinaison →, . . . , − →) de coefficients (λ , . . . , λ ). linéaire des vecteurs (− x x 1 p 1 p − → − → Une partie {x1 , . . . , xp } est liée si et seulement s’il existe des coefficients (λ1 , . . . , λp ) → +· · ·+λ − → non-(tous nuls) tels que la combinaison linéaire λ1 − x 1 p xp s’annule. En d’autres − → − → termes, une partie {x1

s’écrire : 1 u (x,y,2x  y) On peut décomposer u de la manière suivante : u (x,0,2x)(0,y,y) Donc : u  x(1,0,2) y(0,1,1) xV1 yV2 Avec : V1(1,0,2) et V2 (0,1,1) 1) Ainsi, un vecteur quelconque de F1 est combinaison linéaire des vecteurs V1 et V2 F1 est engendré par ces deux vecteurs. On a alors : F1  Vect(V1,V2) Conclusion : F1 est donc un sous-espace vectoriel de IR 3 Exercice 3 2) Soit u un vecteur de forme : F2 , u est

inversibles. À titre d’exercice, écrire les opérations inverses. On peut définir d’autres opérations élémentaires comme composées des opérations élémentaires de base : changer l’ordre des lignes, additionner des lignes, ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes, etc. Définition A.4 Deux systèmes (Σ1 ) et (Σ2 ) sont dits équivalents si l’un se déduit de l’autre par une succession d’opérations élémentaires. Les opérations élémentaires étant inversibles, on peut bien passer d’un