Complexe

− 4z + 5 = 0. Déterminons donc les racines complexes du polynômes du second degré z 2 − 4z + 5 : ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 × 1 × 5 = 16 − 20 = −4 = (2i)2 < 0 Donc le polynôme z 2 − 4z + 5 a deux racines complexes conjuguées : √ −b − i −∆ 4 − 2i 2 (2 − i) = = =2−i et z2 = z1 = 2 + i z1 = 2a 2 2 S = {2 − i; 2 + i} : les points du plan ayant pour image le point d’affixe 5 sont les deux points d’affixes 2 − i et 2 + i. a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z ′ + 4 = (z − 2)2 . 2 2 ′ (z −

pas suivi l’enseignement de spécialité) Partie A Restitution organisée de connaissances Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. Partie B Étude d’une transformation particulière − → Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O; →, − ), on désigne par A et B les u v points d’affixes respectives 1

Mercredi 05 mars Physique Mathématiques Sciences industrielles Jeudi 06 mars Vendredi 07 mars Physique Mathématiques Sciences industrielles                                                              1 Travail1 Partie 1 Chapitre 1 Nombres complexes et géométrie élémentaire Partie 1 Chapitre 1 Mécanique du point Partie 1 Chapitre 2 Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires Partie 1 Chapitre 1 Etude des systèmes Partie 1 Chapitre 2 Electrocinétique Partie 2 Chapitre 1 Nombres

Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 )

Partie A On considère l’équation : (E) z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = 0 où z est un nombre complexe. 1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation. 2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait : z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i) az 2 + bz + c . 3. En déduire les solutions de l’équation (E). Partie B → → − − Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O, u , v , on désigne par A, B et C les points d’affixes

1er mode de formation de l'homosexualité (à partir de l'Oedipe) : Le complexe d'Oedipe (vers 3 à 6 ans) : Dans le développement normal d'un enfant, garçon ou fille, au tout début, il y a une identification première au père, l'objet d'amour étant la mère. L'enfant aime la mère du même type d'amour que celui du père pour la mère : il la désire et veut être aimé d'elle comme elle aime le père. Le garçon, lors du complexe d'Oedipe, entre en rivalité avec le père pour aimer la mère. C'est l'identification

les nombres complexes non nuls z et z ′ , arg (z × z ′ ) = arg(z) + arg (z ′ ) à 2π près. z Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z ′ , on a : arg ′ = arg(z) − z arg (z ′ ) à 2π près. Exercice no 9 Restitution organisée de connaissances [Spécialité] (Liban 31 mai 2011) On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct. Prérequis : L’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z ′ = az + b où a et b sont deux nombres complexes tels que

LES NOMBRES COMPLEXES 1 ) DEFINITION - REPRESENTATION GEOMETRIQUE Définition : On appelle corps des nombres complexes, et on note C un ensemble contenant IR tel que : I 2 • Il existe dans C un élément noté i tel que i = - 1. I • Tout élément de C s'écrit sous la forme a + b i , où a et b sont des réels. I • C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent l'addition et la multiplication de I IR, et qui suivent les mêmes règles de calcul. Nombres complexes particuliers : Soit un

Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 -

avec les signatures suivantes : Public Public Public Public Function Function Function Function DFT(monSignal() As Double) DFTInverse(maTransformee() FFT(monSignal() As Double) FFTInverse(maTransformee() As As As As Complexe() Complexe) As Complexe() Complexe() Complexe) As Complexe() Indication : Pour un bon déroulement des TPs, il est conseillé de traiter les parties 4 et 5 et si possible d’aborder la FFT lors de la première séance. Pour le groupe SI, ces deux parties doivent être effectuées