Complexe

Nombres complexes I L’objectif de ce premier chapitre sur les nombres complexes est de rappeler les connaissances de terminale concernant l’ensemble C des nombres complexes et de donner quelques compl´ments utiles pour le prochain chapitre portant e sur la r´solution d’´quations diff´rentielles. e e e I ´ Forme algebrique d’un nombre complexe L’ensemble C des nombres complexes contient l’ensemble des nombres r´els R et poss`de un ´l´ment not´ i e e ee e v´rifiant i2 = −1. De

Les nombres complexes. mardi 13 septembre 2011 14:43 1) Definition On note C l'ensemble des nbres complexes z qui s'ecrivent sous la forme z=ax+iy avec i le nombre imaginaire pur tel que i²=-1 ; x et y La notation z=x+iy est appelée forme cartesienne de z. Le nombre reel x est appelé partie réelle de z. On le note x=Re(z). Y est appelé partie imaginaire de z. On le note y=Im(z) Soient z, z' z=z' avec z=x+iy et z'=x+iy' Un nombre complexe z est imaginaire pur si Re(z)=0 2) Opération sur C A) Addition

Devoir maison no 1∗ : les nombre complexes Exercice 1 On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe 2 − iz f (z) = . 1−z L’exercice étudie quelques propriétés de f . − → Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O , → , − ) d’unité graphique 2 cm, dans u v lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1) et 2). A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe −2i. 1) On pose z = x + iy avec x et y réels. écrire f (z) sous

NOMBRES COMPLEXES 1. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants : z1 = 1 + i , z 2 = 1 − i 2. √ , z3 = 1 + i 3 √ 1+i 3 , z4 = . 1−i Calculer les nombres complexes suivants : w1 = (1 + i) 21 , w2 = √ 1+i 3 1−i 20 . 1 + ix . 1 − ix 1 + ix , avec 1 − ix 3. a) Soit x ∈ R. D´terminer le module du nombre complexe w = e b) Montrer que tout nombre complexe de module 1, diff´rent de −1, peut s’´crire e e x ∈ R. c) V´rifier que −1, ix, et e 4. 1 + ix ont des

NOMBRES COMPLEXES 1. Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants : , z2 = 1 − i z1 = 1 + i 2. , √ 1+i 3 z4 = . 1−i Calculer les nombres complexes suivants : 21 w1 = (1 + i) 3. √ , z3 = 1 + i 3 , w2 = √ 1+i 3 1−i 20 . a) Soit x ∈ R. D´terminer le module du nombre complexe w = e 1 + ix . 1 − ix b) Montrer que tout nombre complexe de module 1, diff´rent de −1, peut s’´crire e e x ∈ R. c) V´rifier que −1, ix, et e 4

Analyse Complexe Philippe Charpentier Université Bordeaux I Septembre 2010 P HILIPPE C HARPENTIER U NIVERSITÉ B ORDEAUX I L ABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES P URES 351, C OURS DE LA L IBÉRATION , 33405 TALENCE Adresse électronique: ♣❤✐❧✐♣♣❡✳❝❤❛r♣❡♥t✐❡r❅♠❛t❤✳✉✲❜♦r❞❡❛✉①✶✳❢r Préface J ai donné ce cours à l’université Bordeaux I en première année de Master durant les années universitaires 2007-08, 200809, 2009-10 et 2010-11. Le contenu de ce polycopié est exactement ce que j’ai traité devant les étudiants

, elle a été réutilisée à travers les époques mais celle­ci nous a aussi amené le  complexe d'Œdipe. Ce complexe se retrouve entre autre dans le film  Incendies, de Wajdi Mouawad, qui nous révèle aussi d'autres facettes de la pièce. Dans les deux adaptations on observe qu'Œdipe a une marque sur le pied qui finira par le trahir et que, dès son enfance, il a été séparé de sa mère. On peut voir que le complexe d'Œdipe, présent dans les deux œuvres,  est défini par le désire inconscient    d'entretenir

Nombres complexes Exercice 1. zi + zj 1) Soient u, v ∈ C. Montrer que |u + v| + |u − v| 4 |u| + |v|, et d´terminer les cas d’´galit´. e e e 3 4 2) Soient z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C. Montrer que k=1 |zk | k=1 =k+1 |zk + z |. ´ Exercice 2. Equations affines 1) Montrer que toute droite du plan a pour ´quation complexe : az + az = b avec a ∈ C∗ , b ∈ R. e 2) Soient a, b, c ∈ C, a, b non tous deux nuls. Discuter la nature de E = {z ∈ C tq az + bz = c}. Exercice 3. Transformation C \ {i} −→

Les nombres complexes - BTS ATI Table des matières 1 Écritures d’un nombre complexe 1.1 Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Forme trigonométrique et forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formules de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Linéariser une expression 2.1 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRES complexes 1 Construction et définition des nombres complexes : On appelle [pic] l'ensemble [pic] des couples de nombres réels muni des opérations internes suivantes : l On peut démontrer les propriétés fondamentales de ces opérations, que l'on déduira des propriétés de [pic]. 1. Associativité de chacune des opérations : [pic] 2. Existence d'un élément neutre pour chacune des opérations : [pic] 3. Tout nombre complexe a un opposé pour l'addition , et tout nombre complexe différent