Composante fortement connexe

est une liste de sommets reliés deux à deux par une arrête. * Un cycle est une chaine composée d’arrêtes distinctes reliant un sommet à lui-même. * Un graphe est connexe si et seulement si pour chaque paires de sommets il existe au moins une chaines reliant les deux sommets. * Le Théorème d’EULER : Un graphe est connexe a une chaîne eulérienne si et seulement si tous ses sommets sont paires sauf deux au plus. - si le graphe n’a pas de sommets impairs, alors il y a un cycle eulérien.

hamiltonien (1 seule fois par chaque sommet) 6. eulérien (1 seule fois par chaque arc) ( Cycle : Chaîne (arêtes) dont le dernier sommet coïncide avec le premier. ( Graphe connexe : ( x, y ( X avec x ( y, ( chaîne entre x et y. ( Graphe fortement connexe : ( x, y ( X avec x ( y, ( chemin de x à y. ( Graphe simple : Il existe au plus une arête (non orienté donc) entre deux sommets et pas de boucles. ( Matrice d’adjacence : A = ( aij

e Connexit´ e Chemins, cycles, connexit´ e Connexit´ e Connexit´ e D´finition e Un graphe non orient´ est connexe si pour tout couple de sommets x, y il e existe une chaˆ reliant x ` y . ıne a Un graphe orient´ est connexe si le graphe non orient´ associ´ est connexe. e e e Exemples : a f e b c f e a b c Composantes connexes D´finition e Une composante connexe C d’un graphe G = (S, A) est un sous-ensemble maximal de sommets tels que deux quelconques d’entre eux soient reli´s par

les graphes seront abord´s e e e quelques probl`mes et des algorithmes les r´solvant : e e – parcours de graphe – arbre couvrant minimum – plus court chemin – d´tection de circuit dans un graphe orient´ , d´termination des composantes fortement e e e connexes d’un graphe orient´ , tri topologique e – ordonnancement – flots (en cours) – couplage (` venir) a remarque : dans les algorithmes qui seront d´crits, le terme FIN signifie une sortie du proe gramme en cours d’ex´cution. e

[i][j] = 1 si (i, j) ∈ A, et M [i][j] = 0 sinon. -4/28-IUT Lyon Informatique Théorie des Graphes 2011-2012 Dans le cas de graphes non orientés, la matrice est symétrique par rapport à sa diagonale descendante. Dans ce cas, on peut ne mémoriser que la composante triangulaire supérieure de la matrice d'adjacence. Exemple : On considère le même graphe qu'au cas précédent, sa matrice d'adjacence est : ↗ 1 2 3 4  1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 3 1 1 1 1 4 1 1 1 0 Taille mémoire nécessaire : la matrice d'adjacence

un Graphe connexe, fortement connexe Un graphe est dit connexe si tous ses noeuds ont deux à deux la relation de connexité. Un graphe est dit fortement connexe si tous ses noeuds ont deux à deux la relation de forte connexité. Exemple Graphe non connexe: Graphes connexes mais non fortement connexes: Graphe fortement connexe: Composante connexe, fortement connexe Informatique / Recherche operationnelle / Les graphes (French) 6 de 10 On appelle composante connexe un ensemble

triangulés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Graphes orientés 2.1 Graphes orientés . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Degré d’un sommet d’un digraphe . . . . . . 2.3 Chemins et circuits . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Digraphe fortement connexe . . . . . 2.4 Représentations non graphiques des digraphes 2.4.1 Matrice d’adjacences . . . . . . . . . 2.4.2 Listes d’adjacences . . . . . . . . . . 2.5 Digraphes sans circuit . . . . . . . . . . . . . 2.6 Graphes de comparabilité . . . . .

ap−1 est relié à a2p−1 , a2p et a1 ; – ap est relié à a2p , a1 et a2 . On obtient bien un graphe d’ordre 2p dont tous les sommets sont de degré 3. Exercice 3 - Connexité - I - Master Enseignement Supposons par l’absurde que ce graphe ne soit pas connexe, et soient x, y deux sommets tels qu’il n’existe pas de chaine liant x à y. Alors, x a au moins p voisins, et il en est de même pour y. Mais les voisins de x sont forcément tous distincts des voisins de y : sinon, il existerait une chaine de longueur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Parties compactes de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 18 19 4 Espaces connexes 4.1 Connexit´e et connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 5 Espaces fonctionnels 5.1 Espaces de Banach et de Hilbert . . . . . . . . . . 5.2 Projection orthogonale et orthogonalit´e

simple dont l’arˆte initiale e1 et l’arˆte finale el ont un sommet en commun. ıne e e Un graphe G est dit connexe si pour toute paire de sommets u, v de G, il existe dans G une chaˆ dont les extr´mit´s ıne e e sont u et v (ie cette chaˆ relie les sommets u et v). ıne Un sous-graphe connexe [U ] de G maximal pour l’inclusion sera dit ˆtre une composante connexe de G. L’ensemble e des k composantes connexes d’un graphe G forment une partition de ses sommets en k-classes. Exercice d’algorithmique: notion de