Condition initiale

convenable) si f est de classe C 1 et que r et min(η, M ) sont finis. e Th´or`me 1 (Cauchy–Lipschitz). Si f est k-lipschitzienne en x sur un cylindre e e de s´curit´ comme ci-dessus, l’´quation (1) admet une unique solution γ : I → Ω e e e v´rifiant la condition initiale γ(t0 ) = x0 . e Il est important d’avoir une estimation explicite de la taille de l’intervalle sur laquelle la solution existe qui soit ind´pendante de k. Nous verrons dans le th´or`me e e e 2 une variante de ce r´sultat lorsque Ω = Rn , souvent

strictement positive sur ]0 ; 2[donc f est strictement croissante sur [0 ; 2]. • La dérivée de f s’annule en changeant de signe en 0 et en 2. f admet donc deux extremums : - un minimum en 0, égal à f (0) = 0 (inutile de faire le calcul, c’est une condition initiale). - un maximum en 2, égal à f (2) = 4e −2 ≈ 0,54 . Par théorème ∀n∈N x →+∞ lim x n e− x = 0 , donc (remplacez n par 2) x →+∞ lim x 2 e− x = 0 . La représentation graphique de f admet l’axe des abscisses pour asymptote en +∞. Enfin

constante r´eelle. 9.1.4 Solution v´ erifiant une condition initiale La donn´ee d’une condition initiale pour l’´equation y + a(x)y = b(x) sur l’intervalle ouvert I est la donn´ee d’un point x0 de I et d’un r´eel y0 . Une solution satisfaisant a` cette condition initiale est une solution y telle que y(x0 ) = y0 . Th´ eor` eme 3 Il existe une et une seule solution de l’´equation y +a(x)y = b(x) sur I satisfaisant `a la condition initiale y(x0 ) = y0 . D´emonstration : On a vu que la solution

varible de sortie par une matrice de 1 ligne et de N colonnes. X(1,1)=x1;%c'est notre condition initiale. for i=1:N%nous faisant une boucle permettant de calculer X, au bout de la N-ème génération. X(1,i+1)=r*X(1,i)*(1-X(1,i))%notre suite logique. end end Nous allons ensuite représenter sur une même figure notre fonction Xn pour différentes valeurs de r. x1=0.4;%on choisit 0.4 comme condition initiale. N=100; hold all%nous réunissons toutes les courbes sur le même graphique. plot

calculer la dérivée dans le cas général avant de remplacer les deux paramètres a et b par leur valeur. On a f’(x) = – 2a e–2x. Ainsi, pour tout x réel, f’(x) + 2f(x) = – 2a e–2x + 2a e–2x + b = b. Pour toute valeur de a, la fonction est solution à condition que b = 3. Le tableau se remplit alors facilement. a b Vrai / Faux 2 –1 F 5 3 V 7 3 V 12 Les solutions de cette équation différentielle sont les 3 fonctions du type f(x) = ke4x – où k est un réel. 4 3 3 On sait de plus que f(0) = ke4

de Cours 1. Prouver que la fonction f(x) = x2 est d ́erivable sur R et que f′(x) = 2x. 2. Prouver que si f est une fonction continue sur un intervalle I avec x0 ∈ I et y0 ∈ R alors il existe une unique primitive F de f sur I v ́erifiant la condition initiale F(x0) = y0 (on admet qu’une fonction continue poss`ede des primitives). Exercice 1 Pour chacune des quatre affirmations ci-dessous dire si celle-ci est Vraie ou Fausse, une r ́e- ponse juste rapporte 1 point et une r ́eponse fausse retire

et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet, vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. EQUATIONS DIFFERENTIELLES PLAN I : Equations différentielles linéaires du premier ordre 1) Définition

|F de f sur IR sont les fonctions de la | |Propriété 2: Condition Intiale : |forme: | |Il existe une et une seule primitive F de f sur I telle que F(xo) = yo. |F(x) = x² - 3x + k , | |On dit F est la primitive de f sur I vérifiant la condition initiale: |où k est une constante réelle. | |F(xo)

(t) + '000 (t) sin t = 0 1 1 On se ramène à un système d’ordre 1 en traitant les dérivées jusqu’à l’ordre p 1 comme des fonctions inconnues xi,k (i indice de la fonction initiale et k son ordre de dérivation), et en rajoutant les n (p 1) équations de liaison entre ces fonctions xi,k . Dans notre exemple, aux deux équations initiales s’ajoutant quatre nouvelles équations liant les 6 fonctions inconnues et leurs dérivées premières : 8 > t x1,0 + (x02,2 )2 = 0 > > > > > > x2,0 x1,2 + x01,2 sin t = 0

équation différentielle φ(x,y,y',y",...,y(n)) = 0 sur un intervalle I de Á ou Á tout entier, c'est trouver toutes les fonctions f telles que : a. f soit n fois dérivable sur I b. ∀x∈I, φ(x,f(x),f'(x),f"(x),...,f(n)(x)) = 0 Une fonction qui vérifie les conditions (a) et (b) est appelée solution (ou intégrale) particulière de l'équation différentielle et sa courbe représentative est appelée courbe intégrale de l'équation différentielle. On appelle solution (ou intégrale) générale de l'équation l'ensemble