Conjugué

3.5.1 Inverse d'un nombre complexe Remarquons : (a + bi) . (a - bi) = a2 + b2 Les nombres complexes a + bi et a - bi ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées. Ces nombres sont appelés complexes conjugués ; leur produit est un nombre réel positif Le complexe conjugué du nombre complexe z est noté z Cette propriété est utile pour calculer l'inverse d'un nombre complexe : 1 1  5i 1  5i 1  5i    Exemple 1: 1  5i (1  5i)(1  5i) 1  25 26 1  25 1  5i 1  5i Remarquons que

imaginaires des nombres suivants : 2 + 2i, 2, i, formule+formule Activité: Calculatrice scientifique, localisation de l'élément i sur la machine 2) Conjugué et module d'un nombre complexe Définition: Soient a et b des nombres réels. Le nombre complexe conjugué de z = a + ib est le nombre complexe formule= a – ib. Exercice: Quel est le conjugué de: 2+i, i, 7? Soit z = 5 + 3i. Calculer z + formule, z - formule. Exercice: Démontrer les propositions suivantes: z + formule= 2formule

; } public static Complexe polaire(double r,double theta) { return new Complexe(r*Math.cos(theta),r*Math.sin(theta)) ; } 1.2. La classe Complexe 3 public Complexe plus(Complexe z) { return new Complexe(x+z.x,y+z.y) ; } public void conjugue() { y=-y ; } public double norme2() { return x*x+y*y ; } } public String toString() { if (y>0) return x+" + " +y+" i" ; if (y 0) return x + "+ i" + y; if (y < 0) return x + "- i" + -y; return x + " "; } Variable statique On

des axes 6 2. Le nombre complexe Z 2  z A est : Réponse A : un nombre réel positif négatif Réponse C : un nombre imaginaire pur point du plan complexe Réponse B : un nombre réel Réponse D : l’affixe d’un pris hors des axes 3. Le nombre complexe conjugué de z A est : Réponse A : 4ei / 6 Réponse B : 4ei 7 / 6 Réponse C : 4e i / 6 Réponse D : 1 i / 6 e 4 4. Le nombre complexe zC peut se mettre sous la forme : Réponse A : 2 2e  i / 4 Réponse B : 2 2e3i / 4 Réponse C : 2 2e5i / 4 Réponse

est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; [pic] ;[pic] ) . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ =[pic], où [pic]désigne le nombre complexe conjugué de z . 1) Déterminer l’ensemble des points invariants par f . Un point M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, sont image M’ a pour affixe z . D’où M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, z = [pic]ou z[pic][pic]=

purs. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Module et conjugué d'un nombre complexe On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, le réel positif |z| = |z| = 0 ⇔ z = 0 |zz'| = |z|.|z'| a2 + b 2 . ; ; |- z| = |z| 1 = 1 |z| z ; ; |z + z'| £ |z| + |z'| z = |z| z' |z'| On appelle conjugué du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,  le nombre complexe z = a - bi .    1= z z =z ; | z | = |z| ; Si z #

M(x ; y) , ou (x; y) E 1R2, a pour Z a pour forme algebrique x + iy . Partie reel Ie de z: Partie imaginaire Conjugue Re (z) =x de z : 1m (z) = y de z : z = x - iy Module de z I zl = Jll= Jx2 + y2 : z = p( cos 6 + i sin 6) : z = peiS Si Z;to 0 , trigonometrique Izl=p arg z=6 [2 'IT] z a pourforme Moduledez: Argumentdez: Conjugue z a pour forme exponentielle de z : z = pe- is des modules • Proprietes PourtoutzE PourtoutzE C, Izl=lzl C*

On pose : et . Le vecteur a pour coordonnées donc son affixe est égal à . b) et c) : Démonstrations analogues en passant par les coordonnées des vecteurs. Autres exemples : II. Conjugué d'un nombre complexe Définition : Soit un nombre complexe . On appelle nombre complexe conjugué de z, le nombre, noté , égal à . Exemples : - et - On peut également noter : ; ; Remarque : Les points d'affixes z et sont symétriques par rapport à l'axe des réels.

9- Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique 9-1- Plan complexe 9-2- Module 9-3- Argument 10- Multiplication de deux nombres complexes avec la forme trigonométrique 11- Division de deux nombres complexes 12- Nombre complexe conjugué 13- Exemples d’application en électricité : les impédances complexes 13-1- Exemple n°1 : Circuit RLC série 13-2- Exemple n°2 : Circuit RL parallèle 14- Exemple d’application en électronique : fonction de transfert d’un filtre 15- Réponse aux

l’expression de Z ; Exprimer X et Y en fonction de x et y En déduire et construire les ensembles des points suivants : z∈IR z∈iIR NOMBRE COMPLEXE CONJUGUE Définition Soit z = a+ib un nombre complexe, on appelle nombre complexe conjugué de z et on note ( z) ̅ , le nombre complexe : a – ib. Remarque : z ̿=z on dit alors que z et z ̅ sont conjugués. Soit M(z) et M’(z ̅) alors les points M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe réel Soient z =a + ib et z’ = a’ + ib’ deux nombres