Continuité uniforme

dérivée (tableau de varitation) Coût marginal : surplus de coût pour la fabrication de h unités supplémentaires Cm = Cx+h-C(x)h On assimile Cm à limh→0Cx+h-C(x)h Donc le cout marginal est défini par la fonction Cm (x)=C’(x) > Limites et continuité  o LIMITES DES FONCTIONS USUELLES f(x) | x | x² | x3 | x | 1x | lim quand x tends vers +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | 0 | lim quand x tend vers-∞ | -∞ | +∞ | -∞ | | 0 | limx→0x>o= +∞limx→0x<0= - ∞ | o OPERATIONS SUR LES LIMITES

pas en compte dans notre modélisation cette dernière variable année calendaire qui représente l’inflation car nous travaillons sur des triangles déflatés dans le contexte de cette étude. 4 La mise en œuvre d’une modélisation GAM requiert la continuité de ces variables du fait de l’utilisation de fonctions de lissage. Or la variable année de développement est une variable quantitative discrète. Nous la rendons continue en définissant une variable artificielle Y=j qui sera traitée comme une variable

indépendant de n et de x ∈ [α, π]. n b) Montrer que, pour n ≥ 2, k=1 sin(kx) = k n−1 k=1 sn (x) sk (x) + . k(k + 1) n sk (x) , k ≥ 1, sur le segment [α, π]. k(k + 1) c) Justifier la convergence uniforme de la série de fonctions de terme général : d) Montrer la convergence uniforme de la série de fonctions de terme général : sin(kx) , k ≥ 1, sur le segment [α, π]. k e) Montrer que f est dérivable sur ]0, π] et écrire sa dérivée à l’aide d’une série de fonctions que l’on ne cherchera

sa d´riv´e. e e On d´finit, pour x ∈ [0, 1[, e x2 f (x) = x dt . ln t 1. En utilisant la concavit´ du logarithme, d´montrer que e e ∀x ∈]0, 1], ∀t ∈]x2 , 1], 2 ln x (t − 1) ≤ ln t ≤ t − 1. x2 − 1 2. En d´duire que f se prolonge par continuit´ en 1. e e http://www.bibmath.net 5 ´ Exercices - Integration - Niveau 1 : ´nonc´ e e 3. Justifier que f est d´rivable sur [0, 1], et calculer sa d´riv´e. e e e 4. En d´duire la valeur de I = e 1 (t−1) 0 ln t dt. ´ ´ ´ ´ Methodes numeriques

................................ 2  B.  PROPRIETES FONDAMENTALES DU LOGARITHME NEPERIEN. ............................................... 3  III.  ETUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. .............................................. 3  A.  CONTINUITE ET DERIVABILITE. ............................................................................................ 3  B.  INTEGRALE. ....................................................................................................................

d´finie sur ]0, π/2] par : fn (x) = sin(2n + 1)x sin x Se prolonge par continuit´ au segment [0, π/2] en posant fn (0) = 2n + 1. e L’int´grale propos´e est donc d´finie : c’est celle d’une fonction continue sur e e e [0, π/2]. On pose : In = D’autre part : sin(2n + 1)x − sin(2n − 1)x = 2 cos(2nx) sin x Donc, pour 0 < x ≤ π/2 et n ≥ 1 : fn (x) − fn−1 (x) = 2 cos(2nx) Relation qui s’´tend au segment [0, π/2] par continuit´ des deux membres. e e On en d´duit, pour n ≥ 1 : e In − In−1 = Donc In = I0

fonction f ( x ) = x est une fonction continue sur [ −1, 1] , mais c) d) f ( x ) = x ne l’est pas sur cet intervalle, parce qu’elle n’est pas définie partout sur cet intervalle. Vrai. Il s’agit essentiellement de la définition de la continuité d’une fonction. Faux. Une fonction qui admet une discontinuité par trou en x = c n’est pas définie en ce point, mais elle est telle que lim f ( x ) existe. x →c 3. a) 2 b) 10 0 -6 -3 0 3 -10 © ERPI -1- c) 6 5 4 3 2

> Primitives Notions d’intégrale Séquence 6 – MA01 159 © Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Cours A B A C A D E ............................................................................................................................................................................... 163 Primitives d’une fonction continue sur un intervalle Exercices d’apprentissage (Série 1) Primitives et calculs d’aires Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle Exercices d’apprentissage

Questions de Cours 1. Prouver que la fonction f(x) = x2 est d ́erivable sur R et que f′(x) = 2x. 2. Prouver que si f est une fonction continue sur un intervalle I avec x0 ∈ I et y0 ∈ R alors il existe une unique primitive F de f sur I v ́erifiant la condition initiale F(x0) = y0 (on admet qu’une fonction continue poss`ede des primitives). Exercice 1 Pour chacune des quatre affirmations ci-dessous dire si celle-ci est Vraie ou Fausse, une r ́e- ponse juste rapporte 1 point et une r ́eponse fausse

Partie A : existence et unicité de la solution On considère la fonction f défmie sur l’intervalle ]0 ; +1[ par f (x) = x + ln x. 1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +1[. La fonction f est la somme de deux fonctions strictements croissantes sur ]0 ; +1[, donc f est strictement croissante sur ]0 ; +1 . 2. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution notée  appartenant à l’intervalle ]0 ; +1[. Afin d’obtenir le tableau de variation complet