Continuité

et presque partout sur [a; b], où désigne (b) si f est Riemann intégrable, alors elle est Lebesgue intégrable et les deux intégrales coïncident. 6.4 Continuité et dérivabilité sous le signe On s’ intéresse maintenant a deux théorèmes très importants concernant les intégrales dépendant d’ un paramètre. R Théorème 5 (Continuité sous le signe ) Soient (X; A; ) un espace mesuré, E un espace métrique, t0 2 E et f : X E ! R tels que : (ii) 9V 2 V (t0 ) 9g : X ! R intégrable telle que 8t 2

( n) n +1  → u =f u Graphiquement, on comprend ce comportement, mais il faut être vigilant : ce n’est pas parce que la fonction f aura des points fixes que ( un ) convergera forcément… Indication pour démontrer le théorème. Utiliser la continuité de f Exercice II-2. 1  u = u + 1 Reprenons la suite de l’activité d’introduction  n +1 2 n . u0 = −1  Nous avons prouvé que cette suite était croissante, majorée par 2. Prouver qu’elle est convergente et déterminer sa limite. Remarque

π ] 2 Exemple Les inégalités 0 ≤ montrent que sin2 t sin2 t t2 t2 ≤ 1 t2 , avec les résultats vus sur les intégrales de Riemann, a une intégrale convergente sur [1 , +&[ ; il en est de même sur [0 , +&[ après avoir prolongé sin2 t par continuité en 0. t2 Corollaire Soient f et g deux fonctions positives, définies sur I = [a , b[ (resp. I = ]a , b] ) , localement intégrables sur I et telles que f(t) õ g(t) (t @ b-) (resp. t @ a+) . La fonction f a une intégrale convergente sur I si et

la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Correction si x > 1 [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0

sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 si x > 1 soit dérivable sur R∗+ . Indication Correction Vidéo [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) =

une suite partielle convergeant vers un point de E, soit x = lim xkp . p→+∞ Par continuit´, on devrait avoir e f (x) = lim f (xkp ) = −∞ p→+∞ ce qui est absurde. Soit alors α = inf{f (x) | x ∈ E} et choisissons pour chaque k ∈ N un point yk ∈ E tel que 1 α < f (yk ) < α + . k Par compacit´, cette suite devra contenir une suite partielle convergeant vers e un point de E, soit y = lim ykp . p→+∞ Par continuit´, on aura e f (y) = lim f (ykp ) = α. p→+∞ C.Q.F.D. Th´or`me 9 Soit f : Rn →

C 1 sur Rn \ {0} puisque N (x) = On peut alors calculer les dérivées partielles de F dans la base canonique (e1 , . . . , en ) : Di F (x) = f ( x ) ei xi x + f ( x ) ei si x = 0 si x = 0 Par la continuité de f en 0 avec f (0) = 0, on observe la continuité des dérivées partielles Di F sur Rn et on peut affirmer que F est de classe C 1 . c) Pour x ∈ Rn \ {0} x2 + · · · + x2 avec x2 + · · · + x2 = 0 n 1 n 1 ∂N xi (x) = ∂xi N (x) (x | h) x + f ( x )h x Pour

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Continuit´ e 2.1 D´finition et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . e ee 2.2 Th´or`me des valeurs interm´diaires . . . . . . e e e 2.3 Fonction continue sur un intervalle ferm´ born´ e e 2.4 Fonction strictement monotone et continue . . 2.5 Exercices . .

l'intégrale ∫ dt ? 0 1+ t2 2°) Montrer que la fonction tan définit une bijection de ]−π /2, π/2 [ sur R. La réciproque de cette fonction est la fonction Arc tangente, notée Arctan. Etudier cette fonction : ensembles de départ et d'arrivée, continuité, sens de variations, limites. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé. Déterminer Arctan(0), Arctan(1). Montrer que la fonction Arctan est dérivable et calculer sa dérivée. En déduire la valeur de I. 3°) Soit n un entier

e B = B(x0 , ε) soit contenue dans U . La fonction L est alors continue et strictement positive sur le compact U B donc y atteint son minimum b > 0. En particulier, le 16 OLIVIER DEBARRE 1 ferm´ Um = L−1 ([0, m ]), voisinage de x0 (par continuit´ de L), est contenu dans B e e pour tout m > 1/b. Soit x ∈ Um , avec x = x0 , c’est-`-dire 0 < L(x) ≤ 1/m, et m > 1/b. La a trajectoire future (ϕ(x, t))t≥0 ne peut rencontrer le bord ∂B car L d´croˆ le long de e ıt cette trajectoire, tandis qu’elle