Convergence absolue

l’ étude en supposant x 0 1a) P si x = 0 on a pour tout n , un (x) = 0 donc la série un (0) converge P 1 1 si x 6= 0 on a un (x) n >+1 x n 1+1 . Les séries sont à termes positifs . La série de Riemann n +1 converge car P + 1 > 1 . On a donc la convergence de un (x) . P un converge simplement sur R+ p On peut remarquer que un (1= n) = 1 1 1=2 on a une série de Riemann divergente. +1=2 . Donc pour a 2 Pn P On a trouvé une suite (xn ) telle que u(xn ) diverge . la série un ne converge pas normalement

trigonométrique est γ : , y = sin t t variant de 0 à 2π. Cette paramétrisation est de classe C1 puis x2 2π ω= γ 0 − sin t cos t (− sin t) + (cos t) 2 t + sin2 t 2 t + sin2 t cos cos 2π dt = 0 1 dt = 2π. Problème : comparaison de convergences Partie I 1. (a) Si f est une fonction définie sur I à valeurs dans R, on pose f ∞ = sup {|f(x), x ∈ I} ( f ∞ est élément de [0, +∞]). La série de fonctions de terme général fn , n ∈ N, converge normalement sur I si et seulement si pour tout n ∈

scrutins régionaux et municipaux infligeant une sévère défaite électorale au PSOE. Les « petits » partis comme l’Union progrès et démocratie (UPyD), les régionalistes basques de Bildu-Eusko Alkartasuna (Ensemble en basque, Bildu EA) ou catalans (Convergence et union, CiU) en sont aussi sortis renforcés. Au niveau municipal, le PP s’est imposé avec 37,53% des suffrages et 26 499 postes de conseillers municipaux obtenus contre 27,79% des voix au PSOE et 21 767 postes, soit le plus faible résultat

voisinage d'un point...) d'un domaine U sont égales sur U.  Toute série entière est analytique dans son disque de convergence.  Toute fonction analytique sur U est localement la somme de sa série de Taylor. 1.1. Séries entières, rappels 1.1.1. Disque de convergence. soit S (z) = n≥0 an z n une série entière. Il existe un réel ρS ≥ 0, appelé rayon de convergence de la série, et vériant  S est absolument convergente dans le disque DρS  S diverge (non bornée) en dehors du disque

an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim = lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n−→∞ n−→∞ fn (x) n+1 donc ∆ = R. ∞ xn Exemple

d’unification monétaire 13 1.1. Les raisons de la coopération monétaire européenne 13 1.2. Le système monétaire européen 14 1.3. L’union économique et monétaire (UEM) 15 2. Euro et politique économique de la zone euro 15 2.1. Les critères de convergence de Maastricht 15 2.2. Le pacte de stabilité et de croissance 16 2.3. La naissance de l’euro 16 2.4. Le système européen de banques centrales (SEBC) 16 2.5. Le mécanisme du taux de change MTC 2 17 2.6. Quels sont les bénéfices à rejoindre

produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.7.2 Topologie produit et continuit´ . . . . . . . . e 1.7.3 Produit d’espaces m´triques . . . . . . . . . . e 1.7.4 Topologie produit et convergence simple . . . Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 28 29 29 30 31 31 32 35 36 37 41 41 41 42

ann´es ant´rieures ` 2006) est sur le site sans corrig´s. e e a e 3 2 ANALYSE 2.1 Concours communs polytechniques CCP 1 1 n(ln n)α a- Montrer que si α 0 la s´rie de terme g´n´ral un diverge e e e e e b- Lorsque α > 0 ´tudier la convergence de la s´rie un = CCP 2 8 points. 2 fois 1- Soit (fn )n∈N une suite d’applications continues convergeant uniform´ment vers f sur [a,b]. Montrer que e b converge vers a f (x)dx 2- Montrer que 0 1 2 b a fn (x)dx +∞ n=0 xn dx = +∞

Définition : Les critères de convergence ou les critères de « Maastricht » sont des critères, fondés sur des indicateurs économiques, que les pays membres de l’Union Européenne doivent respecter pour leur permettre l’entrée dans la zone Euro. Les critères de convergence ont pour base juridique l’article 140 du traité sur le fonctionnement de l’Union européenne (UE) et font l’objet du protocole n°13 annexé aux traités fondateurs de l’UE. Ces critères ont été établis lors du traité de Maastricht

Libéral ET Social ! L’incontournable économie sociale de marché. Rechercher Accueil du site > 50. Réformes, Réforme de l’Etat, baisse des charges, Dettes (...) > Dette publique : ce que ne disent pas les chiffres officiels. Dette publique : ce que ne disent pas les chiffres officiels. Extraits du rapport Pébereau. dimanche 3 juin 2007, par Laurent Simon Depuis peu les Français ont (enfin) entendu parler de la dette publique française : si l’on ne tient pas compte des engagements