Convergence de variables aléatoires

Aléatoire IQ HN UE EC LY T à la théorie Introduction PO LE et O calcul des probabilités É C au U NIQ E Y POL LE ÉCO H Sylvie Méléard TEC ÉCO LE TE O LY P CH U NIQ E •L ÉDITION ES S D E L'É C O LE P O LY T E C H NIQ E U Ce logo a pour objet d’alerter le lecteur sur la menace que représente pour l’avenir de l’écrit, tout particulièrement dans le domaine universitaire, le développement massif du « photocopillage ». Cette pratique qui s’est généralisée

Probabilités - variable aléatoire ( à valeurs réelles) : Une variable aléatoire X à valeurs réelles est une fonction ℑ mesurable: X:Ω → R X −1 (B) ∈ ℑ (B= borrélien de R) - distribution d’une variable aléatoire : µ X (B) = P(X −1 (B)) UCL Devolder 5 1. Probabilités - fonction de répartition d’une variable aléatoire : Borrélien : B = (−∞, x ] µ X (B) = P(X −1 (B)) = FX ( x ) = P( X ≤ x ) - densité de probabilité d’une variable aléatoire : La densité f(x) d’une variable aléatoire

..................................................... Calcul combinatoire des probabilités ........................................................ Conditionnement et indépendance............................................................ Variables aléatoires réelles ................................................................... Généralités. Loi d’une var ........................................................................... Espérance mathématique .....................................

Loi du χ de Pearson…………………………………………………….……..21 3.4.2. Loi de Student………………………………………………………………….….23 3.4.3. Loi de Fisher-Snédécor………………………………………………..……24 2 4. Convergence……………………………………………………………………………….25 4.1. Convergence en loi………………………………………………………………………………25 4.2. Le théorème central limite………………………………………………………………25 4.3. Convergence vers la loi normale………………………………………………………27 4.3.1. La loi binomiale…………………………………………………………………..…27 2 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL

.............. 28 E. Fonctions de plusieurs variables .................................. 32 2 Probabilités ............................................................................ 37 A. Dénombrement .............................................................. 37 B. Probabilités discrètes .................................................... 38 C. Variables à densité ........................................................ 42 D. Convergence et approximation............................

Loi du χ de Pearson…………………………………………………….……..21 3.4.2. Loi de Student………………………………………………………………….….23 3.4.3. Loi de Fisher-Snédécor………………………………………………..……24 4. Convergence……………………………………………………………………………….25 4.1. Convergence en loi………………………………………………………………………………25 4.2. Le théorème central limite………………………………………………………………25 4.3. Convergence vers la loi normale………………………………………………………27 4.3.1. La loi binomiale…………………………………………………………………..…27 2 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL

de la moyenne……………….…………………………………...6 2.2.1. Définition…………………………………………………………………………...….6 2.2.2. Convergence …………………………………………………………………....….7 2.3. Loi de probabilité d’une fréquence……………….…………………………….....8 3. Estimateur………………………………………………………………………………....8 3.1. Définition…..………………………………………………………….………………………..…...8 3.2. Propriétés…..………………………………………………………….………………………..…..9 3.2.1. Convergence……………………………………………………………………....….9 3.2.2. Biais d’un estimateur…………………………………………………..…..….9 3.2.3. Variance

d’application directe du cours (un exercice du document par exemple) puis un exercice de reflexion (surtout pour le groupe *). Table des matières 1 Suites réelles 1.1 Notions sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Convergence et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Borne supérieure et borne inférieure d’une partie de R . . . . . 1.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Suites négligeables, suites équivalentes, développements

........... 28 E. Fonctions de plusieurs variables .................................. 32 2 Probabilités ............................................................................ 37 A. Dénombrement .............................................................. 37 B. Probabilités discrètes .................................................... 38 C. Variables à densité ........................................................ 42 D. Convergence et approximation..........................

. . . . . . . . . . . 2.3. Éléments aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Loi de probabilité d’un élément aléatoire . . . . . . . . 2.3.3. Éléments aléatoires indépendants . . . . . . . . . . . . Chapitre 3. Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 Probabilités et statistique 3.1. Attributs des variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . .