Convergence simple

CCP MP I - ann´e 2000 e I CU dans C 0 ([0, 1], R) |fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ;

sembl´ important de ne pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on ` ce que le langage de la topologie g´n´rale ne soit plus un nouvel obstacle c a e e a ` franchir (de plus les topologies non m´trisables arrivent tr`s vite : convere e gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski. . .). Nous avons laiss´ de e cˆt´, en le signalant, la notion de filtre qui ` ce niveau introduirait plus de oe a confusion qu’autre chose mais qui apr`s coup ne pr´sentera pas de difficult´ e e e majeure pour

. . 7.1.2 Le domaine de convergence simple d’une série entière est un disque au bord près . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Produit de deux séries entières . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Substitution d’un monôme . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Propriétés de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Domaine de convergence uniforme . . . . . . . .

Bessel-Parseval et le fait que les Sj convergent aussi au sens L2 vers f . 2π 7. Digressions : (a) de toute suite L2 -convergente on peut extraire une sous-suite ponctuellement presque partout convergente. Mais en fait (L. Carleson) on a convergence ponctuelle p.p. de Sj vers f sans avoir à passer à une sous-suite (on n’en donne pas la démonstration dans le cours). (b) continuité L2 des translations. Énoncé analogue pour L1 . (c) si f est continue les gN convergent uniformément vers f . Énoncé

  2 gudu  1 2  2n e  gudu donc c k g  R e iku gudu ĝk.  1.3.3) On a |g2n|  O n12  donc g2n nZ est sommable. On a g est de classe C 1 n  2 périodique donc d’aprés le théorème de convergence normale, c n g nZ est sommable 1    et la série de Fourier de g cvn vers g. D’aprés 1.3.2 on a ĝn  2c n g donc ĝn nZ est   aussi sommable. D’autre part t  R, gt   c n ge int , en particulier pour t  0 on a nZ

. . . . . . . . . . . . . e 4.2 Vecteurs Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 14 5 Convergence de suites de variables al´atoires e 5.1 Convergence presque sˆre . . . . . . . . . . . u 5.2 Convergence en probabilit´ . . . . . . . . . . . e p 5.3 Convergence dans L . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Lois faible et forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 16 17

ann´es ant´rieures ` 2006) est sur le site sans corrig´s. e e a e 3 2 ANALYSE 2.1 Concours communs polytechniques CCP 1 1 n(ln n)α a- Montrer que si α 0 la s´rie de terme g´n´ral un diverge e e e e e b- Lorsque α > 0 ´tudier la convergence de la s´rie un = CCP 2 8 points. 2 fois 1- Soit (fn )n∈N une suite d’applications continues convergeant uniform´ment vers f sur [a,b]. Montrer que e b converge vers a f (x)dx 2- Montrer que 0 1 2 b a fn (x)dx +∞ n=0 xn dx = +∞

de convergence . . . . . . . . . . . e 2.1.4 Exemple fondamental : la s´rie g´om´trique . . . . . . e e e 2.1.5 Autres exemples de s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Op´rations sur les s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.2 S´ries ` termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 2.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.2 Condition n´cessaire et suffisante de convergence . . . . e 2.2.3 Crit`res de convergence pour

trigonométrique est γ : , y = sin t t variant de 0 à 2π. Cette paramétrisation est de classe C1 puis x2 2π ω= γ 0 − sin t cos t (− sin t) + (cos t) 2 t + sin2 t 2 t + sin2 t cos cos 2π dt = 0 1 dt = 2π. Problème : comparaison de convergences Partie I 1. (a) Si f est une fonction définie sur I à valeurs dans R, on pose f ∞ = sup {|f(x), x ∈ I} ( f ∞ est élément de [0, +∞]). La série de fonctions de terme général fn , n ∈ N, converge normalement sur I si et seulement si pour tout n ∈

fonctions 4.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Continuité des limites et des sommes pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ii 4.4 4.5 4.6 4.7 5 Table des matières Dérivabilité des limites et des sommes pour la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration des limites et sommes pour la convergence uniforme Exercices