Coplanaire

dira que des points sont coplanaires s’il existe un plan P qui les contient tous. Deux droites sont dites coplanaires, s’il existe un plan P qui contient les deux droites. Exemple. Dans le cube ci-dessus (celui en perspective cavalière), > les points A,B,C et D sont coplanaires : ils appartiennent tous au plan (ABC) (par exemple). > les points A,B,H et G sont coplanaires : ils appartiennent tous au plan (ABH) (par exemple). > les points A,B,C et G eux, ne sont pas coplanaires : aucun plan ne peut contenir

vecteurs pour démontrer que des points sont alignés ou coplanaires, que des droites sont parallèles, etc... A. Rappels 1. Vecteurs égaux Un vecteur est défini par une longueur, une direction et un sens. Soient A, A', B et B' quatre points de l'espace.   signifie que AA'B'B est un parallélogramme (éventuellement aplati). AA'= BB' A' Les vecteurs  et  ont même longueur, même direction et AA' BB' même sens. A Remarques : Les 4 points sont coplanaires. B' L'égalité   est équivalente à   ,   et

des points de l’espaces tel que A M= α + β , avec α et β deux réels. Rappel: Deux vecteurs et sont non colinéaires si l’on ne peut pas établir la relation =K avec K un nombre réel. II. VECTEURS COLINÉAIRES ET COPLANAIRES Dire que des vecteurs sont coplanaires est un prolongement de la colinéarité dans un espace. 1. La colinéarité Définition: La colinéarité entre deux vecteurs signifie que l’on peut établir un lien linéaire entre eux. C’est-à-dire que deux vecteurs et sont

8 ACTIVITÉS Activité 1 sont parallèles. CHAPITRE Géométrie dans l’espace (page 167) c) Les droites (EF) et (HG) sont parallèles à (AB). 1 (AB) et (BF) sont dans le plan de la face (ABFE) donc elles sont coplanaires. Il en est de même pour les droites (AC) et (AD) toutes les deux contenues dans le plan (ABC) et pour les droites (HF) et (HE) dans le plan (EFG). Remarque : elles sont deux à deux sécantes… Activité 2 c) Certaines arêtes peuvent être « cachées », au maximum trois lorsqu’un

parallèles à (AB). Activité 1 1 (AB) et (BF) sont dans le plan de la face (ABFE) donc elles sont coplanaires. Il en est de même pour les droites (AC) et (AD) toutes les deux contenues dans le plan (ABC) et pour les droites (HF) et (HE) dans le plan (EFG). Remarque : elles sont deux à deux sécantes… 2 a) Deux droites du plan n’ayant aucun point commun sont parallèles. b) Non, elles ne sont pas coplanaires. Activité 2 c) Certaines arêtes peuvent être « cachées », au maximum trois lorsqu’un sommet est

que des points sont coplanaires s’il existe un plan P qui les contient tous. ─ Deux droites sont dites coplanaires, s’il existe un plan P qui contient les deux droites. Exemple. Dans le cube ci-dessus (celui en perspective cavalière),  Les points A, B, C et D sont coplanaires : ils appartiennent tous au plan (ABC) (par exemple).  Les points A, B, H et G sont coplanaires : ils appartiennent tous au plan (ABH) (par exemple).  Les points A, B, C et G eux, ne sont pas coplanaires : aucun plan ne peut

chaque fois, lorsque vous voudrez démontrer que deux droites sont non-coplanaires. La démonstration n°2 l’est tout autant : on a beau être dans l’espace, tout est plus clair dans le plan. Donc, dès qu’on peut s’y ramener, on ne s’en prive pas ! Montrons que les droites (AB) et (CD) sont non coplanaires. On va procéder par l’absurde. Supposons que (AB) et (CD) sont coplanaires : Alors les quatre points A, B, C et D sont coplanaires. Or les points A, B et C forment un unique plan (ABC) [II-2-a]. Donc

(comme par exemple (DC) et (AB)) coplanaires (dans un même plan) perpendiculaires (comme par exemple (ED) et (AH)) sécantes quelconques (comme par exemple (HD) et (AH)) H G E non coplanaires (comme par exemple (EH) et (AC)) F D C A B Remarque Dans l’espace, deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles. Définition Deux droites D et D ’ de l’espace sont parallèles si elles vérifient les deux conditions suivantes : t
elles sont coplanaires ; t
elles sont confondues ou n’ont

⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ne sont pas colinéaires. Les points A,E,B et D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ sont coplanaires. Or les vecteurs 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ sont coplanaires si et seulement si il existe 2 réels 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 tels que 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗

NM VECTEURS COPLANAIRES Les vecteurs u , v , w , … , de l’espace sont dits coplanaires lorsqu’un point O quelconque et les points Cette définition ne dépend A, B ,C, … , définis par OA = u , OB = v , OC = w , … , sont coplanaires. pas du point O choisi. Rem : Deux vecteurs sont toujours coplanaires. Si deux vecteurs u et v sont colinéaires, alors quel que soit le vecteur w , les vecteurs u , v et w sont coplanaires Ex : Montrer que les vecteurs HM , AL et DC sont coplanaires. u , v et w sont