Coplanaire

Géométrie spatiale 12.3 Positions relatives 12.3.1 Données essentielles Par deux points distincts de l’espace il ne passe qu’une seule droite. Trois points non alignés de l’espace définissent un unique plan. On dit que deux droites sont coplanaires si elles sont dans un même plan. On peut le dire aussi de quatre points (ou plus. . .). Propriété 12.2 Dans un plan de l’espace, toutes les propriétés de géométrie plane s’appliquent. Exemple 12.1 ABCDEFGH est un cube de côté 4 cm. On note

} est liée ssi (si et seulement si) les vecteurs − x et − y sont colinéaires. Vecteurs liés Vecteurs liés Vecteurs libres − → → → − → – Dans R3 la partie {→ x,− y ,− z } est liée ssi les vecteurs − x, → y et − z sont coplanaires. → − Exemple. Considérons les vecteurs − e1 = (0, 2) et → e2 = (1, 1). − → − → 2 Montrons que ( e1 , e2 ) est une base de R . Puisque nous avons deux vecteurs en → → dimension deux, d’après le Théorème 1.4, il suffit de montrer que

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Vecteurs de l’espace 3.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Vecteurs dans l’espace . . . . . . . 3.3 Définition vectorielle d’une droite 3.4 Définition vectorielle d’un plan . . 3.5 Vecteurs coplanaires . . . . . . . . 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’espace, • • Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006 51 Contenus Commentaires complexes le centre d'inertie d'une plaque homogène. Compétences exigibles trois points et leur barycentre sont coplanaires. II. L'OUTIL MÉTRIQUE La notion d'angle orienté abordée en seconde sera approfondie ici, le cercle trigonométrique jouera un rôle majeur. Produit scalaire Dans le plan - distance dÕun point ˆ une droite - Lignes de niveau (a, b, k sont des réels)

(CBA) ; f. (DI) ⊄ (BCI) ; g. B ∈(ADI) ; h. B ∈(IA) . 2. La démonstration par l’absurde Supposons que EFGH est un tétraèdre et que les droites (EF) et (GH) sont coplanaires. Alors on a H ∈(EFG) , ce qui est contradictoire avec l’hypothèse disant que EFGH est un tétraèdre. Par conséquent, les droites (EF) et (GH) ne sont pas coplanaires. Exercice Exercice Exercices (p. 230) 1. Voir, représenter, construire • Les exercices 1 à 3 sont corrigés dans le manuel p. 333. 4. H G E F 2.

dans ce cas v ′ = v ) z → → → → → Dans ce cas, les expressions 2 et 3 sont vérifiées. → → → → Supposons maintenant que u ≠ 0 et que u et v sont non colinéaires : → → Posons i = u → → → → → . Soit j un vecteur coplanaire avec u et v tel que : → → || u || ( i , j )= → k → π et || j || = 1. 2 → → → O → j y i Soit k le vecteur orthogonal à i et j tel que la base → → → ( i , j , k ) soit directe. → v′ → → v u Produit

est en position équatoriale alors qu’il est en position axiale dans le α-D-glucopyranose : l’anomère β du D-glucopyranose sera plus stable que l’anomère α. 10 Le cycle furane se présente sous une conformation en enveloppe (E) : 4 atomes coplanaires et le 5ème en dehors du plan. Par exemple, le β-D-ribofuranose se présente soit avec le C2 (2E) ou le C3 (3E) en dehors du plan. V . LES PRINCIPAUX OSES ET DERIVES D’OSES Hormis de rares exceptions, les oses naturels et leurs dérivés sont

d’un point dans l’espace Le repérage de point dans l’espace s’effectue obligatoirement à l’aide d’un repère 𝓡 qui est caractérisé par la donnée : - d’un point 𝑂 de référence appelé origine du repère - de trois vecteurs non coplanaires formant une base 𝓑 = (𝒆𝟏⃗⃗⃗⃗ ; 𝒆𝟐⃗⃗⃗⃗ ; 𝒆𝟑⃗⃗⃗⃗ ) de l’espace, dans lequel tout vecteur peut se décomposer. Le repère est alors noté 𝓡 = (𝟎 ; 𝒆𝟏⃗⃗⃗⃗ ; 𝒆𝟐⃗⃗⃗⃗

l’absurde Exercice Exercice a. I ∈(AB) ; b. B ∉(CDI) ; c. CI ⊂ (ABC) ; d. D ∉(BI) ; Supposons que EFGH est un tétraèdre et que les droites (EF) et (GH) sont coplanaires. Alors on a H ∈(EFG) , ce qui est contradictoire avec l’hypothèse disant que EFGH est un tétraèdre. Par conséquent, les droites (EF) et (GH) ne sont pas coplanaires. e. (AB) ⊂ (CBA) ; f. (DI) ⊄ (BCI) ; g. B ∈(ADI) ; h. B ∈(IA) . Exercices (p. 230) 2. 1. Voir, représenter, construire S • Les exercices 1 à 3 sont

utiliser les contraintes « coaxiale », « coïncidente » ou « tangente ». o coaxiale : positionne deux surfaces cylindriques de manière à ce qu’elles partagent le même axe. o coïncidente : positionne deux surfaces planes de manière à ce qu’elles soient coplanaires. o tangente : positionne deux surfaces de manière à ce qu’elles soient tangentes. 5ème partie : modification d’une solution constructive du coupleur mécanique. Voir les documents techniques DT5, DT 9, DT10 et le document réponse DR7. Objectif