Corps commutatif

Dans tout ce chapitre, K d´signe un corps : R ou C. e Il s’agit essentiellement d’un chapitre TECHNIQUE : le but du jeu est d’oublier la “technique d’identification” vue en terminale, pour appliquer des m´thodes bien plus e rapides. Tous les exemples sont trait´s dans une feuille Maple jointe. e 1 1.1 G´n´ralit´s e e e Pr´sentation de C(X) e De mˆme que Q existe parce que Z poss`de des ´l´ments non inversibles, on peut construire e e ee un corps commutatif contenant K[X], dont tous les ´l´ments

comptabilité de certaines relations sur les degrés) · On peut définir des fonctions polynômes avec des coefficients dans un ensemble A autre que . (Cela peut être par exemple le corps des nombres complexes ). Cependant l'ensemble A doit posséder un certain nombre de propriétés algébriques (A doit être un anneau commutatif(1)). (1) Notion de groupe Un ensemble G est un groupe si il est muni d'une l.c.i * (loi de composition interne) vérifiant les trois propriétés suivantes : · Existence d'un élément

` Rn une structure de groupe commutatif. e a 1 2 3 4 (x, y , z) + (u, v , w ) = (x + u, y + v , z + w ) ∈ R3 ⇒ + est une lci. L’associativit´ est induite par celle de (R, +) composante par e composante. (x, y , z) + (0, 0, 0) = (x, y , z) ⇒ (0, 0, 0) est ´l´ment neutre. ee (x, y , z) + (−x, −y , −z) = (0, 0, 0) ⇒ tout ´l´ment admet un ee sym´trique. e λ(x, y , z) = (λx, λy , λz) ∈ R3 . 3 On peut multiplier les vecteurs de Rn par des ´l´ments du corps des r´els. ee e (R[X], +

Endomorphismes normaux Notations. — Dans la suite K d´signe un corps commutatif de caract´ristique = 2 (et le plus e e souvent K = R ou C). 1. Endomorphismes remarquables d’un espace quadratique. D´finition . — On dit dit que le couple (E, φ) est un espace quadratique lorsque e E est un K-espace vectoriel et φ une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e sur E, ie : e e e e e e ∀x ∈ E, (∀y ∈ E, φ(x, y) = 0 ⇒ x = 0). Dans la suite de cette section, on fixe (E, φ) un espace quadratique. D´finition

a et alors on résolve (on cherche b) Et alors Et si , l’inverse de est d’où l’inverse de est si et l’inverse de L’ensemble ainsi construit a bien les mêmes propriétés que pour l’addition et la multiplication, celles d’un corps commutatifs (on a aussi la distributivité de la multiplication sur l’addition). Alors on peut utiliser les mêmes méthodes calculatoires : les identités remarquables et on peut résoudre les équations. Exemple : -Calculer en fonction de

EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 TRAVAUX DIRIGES K o¢ G e rm a in A B A L O 2 U F R -M I Chapitre 1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES REDUCTION DE JORDAN Dans tout le cours, E est un espace vectoriel sur un corps commutatif |; (en général | = R ou | = C): L(E) est l’ ensemble des endomorphismes de E; Mn (|) est l’ ensemble des matrices carrées d’ ordre n à coe¢ cients dans |: 1.1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES Dans ce qui suit, u 2 L(E) avec u 6= 0 et A 2

Propri´t´s du corps IR des nombres r´els. e e e Intuitivement, l’ensemble IR des nombres r´els est repr´sent´ par l’ensemble e e e des points d’une droite, munie d’une origine O (cette origine est identifi´e au e nombre 0). Un nombre r´el est ´galement repr´sent´ par un d´veloppement e e e e e d´cimal illimit´. e e Nous admettons donc comme intuitive, l’existence de l’ensemble IR des nombres r´els, e v´rifiant les propri´t´s suivantes: e ee 1 a) IR est un corps commutatif qui contient le corps des nombres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénombrement des fonctions croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeurs premières d’un polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps commutatif . . . . . . . . Quasi-surjectivité des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . Continuité des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-goupes discrets de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 5 Algebre lineaire, enonces Lorsque la dimension est in nie, on admettra que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel possede des supplementaires et que tout espace vectoriel possededes bases. K designe toujours un corps commutatif. 1. Soit E un K -espace vectoriel. Soit F un sous-espace vectoriel de E . On de ni sur E la relation R suivante : (x R y) () (x ? y 2 F ). (a) Veri er que R est une relation d'equivalence. On note E 0 = E /F l'ensemble des classes d'equivalence pour cette

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u_n)_{n \in \N} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante : \forall n\in\N,~u_{n+1}=a u_n+b. Remarque. On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p1. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus