Corps commutatif

tel que i = –1 ! L’équation ci-dessus possède alors deux solutions : x 2 + 1 = 0 équivaut à x 2 - i 2 = 0 soit (x – i)(x + i) = 0 donc x = i ou x = –i. 2 Nombres complexes Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 2. Construction du corps des nombres complexes 2.1 Définition Notons  l'ensemble des couples de réels :  = {(a, b) Î  ´ } Les éléments de  sont appelés des nombres complexes. Comme il n'est pas pratique de travailler avec des couples (notations un peu lourdes), nous allons

∀u, v, w ∈ E , ∃e ∈ E , ∀v ∈ E , 2. Élément neutre : 3. Opposé : u + (v + w) = (u + v) + w ∀v ∈ E , ∃v ∈ E , v+v =v +v =e ∀v, w ∈ E , 4. Commutativité : v+e=e+v =v v+w =w+v Ces propriétés font de (E, +) un groupe commutatif. • Multiplication externe : 5. Associativité : R × E −→ E (λ, v) −→ λ v ∀λ, µ ∈ R , ∀v ∈ E , 6. Élément neutre : ∀v ∈ E , λ(µ v) = (λµ) v 1v = v 7. Distributivité (1) : ∀λ, µ ∈ R , ∀v ∈ E , (λ + µ) v = λ v + µ v

que pour tout (p, q) ∈ N2 , on a cp sq ∈ Ep+q . 1 1 27. 28. Soit n ∈ N. On suppose que n n’est le carr´ d’aucun entier. Montrer que : e √ √ Q( n) = a + b n ∈ C, (a, b) ∈ Q2 √ est une sous-alg`bre de la Q-alg`bre C, puis que c’est un sous-corps de C. Montrer que (1, n) est une base de e e √ Q( n). √ √ 29. 1) On consid`re R comme un Q-espace vectoriel. Montrer que la famille (1, 2, 3) est libre. e √ √ 2) En d´duire qu’un cercle de R2 de centre ( 2, 3) et de rayon r > 0 poss`de au plus un point

reprendra les travaux. En effet, il fut le premier ` r´pertorier de fa¸on syst´matique des m´thodes a e c e e de r´solution d’´quations en classant celles-ci. e e R´sum´s de cours: MP-PSI-TSI e e 1 Dans tout le r´sum´ de cours K d´signe un sous-corps de C, en g´n´ral K = R ou K = C. e e e e e Structures d’espaces vectoriels. 1.1 Structures. D´finition 1 e myismail.chez.com page Chapitre 1 STRUCTURES D’ESPACES VECTORIELS. 2 Mamouni My Ismail On dit qu’un ensemble E est un K-ev

G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n / j=i Fj ⊂ Fi ). no 3 (** I) : E = Kn où K est un sous-corps de C. Soient F = {(x1 , ..., xn ) ∈ E/ x1 + ... + xn = 0} et G = Vect ((1, ..., 1)). Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que F et G sont supplémentaires

Suites r´ eelles et complexes Table des mati` eres I. Propri´ et´ es de R 1) Le corps des r´ eels 2) La droite num´ erique achev´ ee 3) Repr´ esentation d´ ecimale d’un r´ eel 4) Parties denses de R II. Limite d’une suite r´ eelle 1) D´ efinition 2) Op´ erations sur les limites 3) In´ egalit´ es et limites III. R´ esultats fondamentaux sur les suites r´ eelles 1) Suites monotones, suites adjacentes 2) Th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass IV. Exemples de suites r´ eelles 1) R´ esum´ e des m´

noyau de celui-ci. ∀P ∈ Rn [X] , k=0 ak P (X + k) = 0. Exercice 5 Mines-Ponts MP√ [ 02662 ] [correction] √ √ Soit K = Q + 2Q√ √ √ 6Q. + 3Q + a) Montrer que (1, 2, 3, 6) est une Q-base du Q-espace vectoriel K. b) Montrer que K est un sous-corps de R. Exercice 6 [ 03133 ] [correction] Soient a, b ∈ R distincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme ϕ de R [X] vérifiant ϕ(1) = 1, ϕ(X) = X et ∀P ∈ R [X] , P (a) = P (b) = 0 ⇒ ϕ(P ) = 0 Exercice 11 [ 00166 ] [correction] Soit E un C-espace

Algèbre Anneaux - Corps Denis Vekemans ∗ Exercice 1 Soit (A, +, 0A ) un groupe abélien. On munit l’ensemble A d’une autre loi binaire ·, en posant a · b = 0A , pour tout a, b ∈ A. Montrer que (A, +, ·) est un anneau commutatif. Exercice 2 Soit 2Z = {2z tels que z ∈ Z}. Montrer que (2Z, +, ·) est un anneau commutatif. Exercice 3 x + y − 2 et x (Mars 2004) Soit (R, +, ·) l’anneau des nombres réels. et sur R de la manière suivante : ∀(x, y) ∈ R2 , on pose x y = y = x · y − 2x − 2y + 6. )

Polynômes et Fractions rationnelles 1. Généralités Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle suite presque nulle sur A une suite d’éléments de A dont les termes sont tous égaux à 0A à partir d’un certain rang. Remarque On pose S (A) = {suites de A} et S 0 (A) = {suites presque nulles de A}.  Rappel : addition usuelle des suites et la multiplication usuelle des suites par un scalaire. Soient a,b∈S (A) (ou S 0 (A)) et λ∈A. a = (a0, a1, a2,......., ak,........) = (an)n∈

dans un evn Définition 1 : Un groupe cyclique est un groupe monogène fini 1 1 1 1 2 2 3 3 4 Table des matières 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sous groupes de Groupe engendré Groupe monogène, groupe cyclique Idéal d'un anneau Divisibilité dans un anneau commutatif L'anneau Z Exemple 1 : G un groupe, (a, b) ∈ G2 tel que : o(a) = 2, o(b) = 3 et aba = b−1 , déterminons le sous groupe de G engendré par {a, b}. Si H = 〈{a, b}〉 alors 1, a, b, ab, ba, b2 ∈ H, pour conclure qu’il n’y aura pas d’autres éléments