Courbe de Peano

montrer, par une construction explicite, qu'une fonction continue n'a pas nécessairement de dérivée. Quelques exemples de courbes fractales ; les monstres fractals  La courbe de von Koch L'exemple le plus célèbre de courbe fractale est celui du flocon de neige de Helge von Koch, mathématicien suédois qui la publia pour la première fois en 1904 et la décrivit comme "courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire. A partir d'un segment de longueur un, remplaçons

qui signifie brisé, irrégulier. Une figure fractale est une courbe, une surface, un volume de forme irrégulière ou morcelée, qui se crée en suivant des règles qui impliquent une reproduction de la figure de base, à l’infini. Des structures fractales étaient connues avant leur popularisation au début des années 1980, grâce aux images calculées par des ordinateurs devenus assez puissants à l’époque. On connaissait ainsi les courbes de Peano et de Von Koch. De nos jours, l’ensemble de Julia et celui

et b s’appellent les bornes de l’intervalle . 5) Ne pas confondre {2 ; 5} , [2 ; 5] et (2 ; 5) . Exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8 page 26 Origine des nombres “le saviez-vous” page 28 du manuel «maths repères » Notations des ensembles dues à Péano “le saviez-vous” page 26 du manuel «maths repères » LOGIQUE parties 1, 2 et 3 pages 16 et 17 du manuel Seconde Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions II) Qu’est ce qu’une fonction ? Définition: Une fonction f définie sur un sous-ensemble

pour certains objets naturels (terrains, rivières, etc.) • Objets limités par de tout petits segments • Vision récursive et stochastique • Grammaire de formes récursives Vision péanienne • Giuseppe Peano • • • • Définitions d’un point, d’une ligne, etc. Il existe des points à 2D ou 3D Courbes emplissant tout un espace Pixel = point ou carré ? Vision topologique • On donne de l’importance au positionnement relatif des objets spatiaux • Euler • Exemple : inclusion, adjacence, etc. Exemples

présent. Les connaissances associées sont les rayons du progonomètre." (H. Wronski, mathématicien polyvalent, au sujet de la machine de sa conception, qui était censée prédire l'avenir.) "J'ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit tout une aire) mais enfin il est allé ni plus loin, ni plus haut, ni plus vite que la plupart des mathématicien aptères et il aurait pu faire tout aussi bien avec ses jambes." (Une amabilité signée H. Poincaré)

n − 1, 2n − 1, . . . } . 0, l’ensemble quotient Z/nZ = ¯ . . . , n − 1 est de cardinal n. Exemple 2 (suite) Dans le second exemple, la classe d’´quivalence d’un point x est l’ensemble des points qui peuvent ˆtre joints ` x au moyen e e a d’une courbe continue contenue dans E. On appelle ¸a la composante connexe par arcs de x. Par exemple, soit E c l’ensemble R2 − C o` C est l’ensemble des vecteurs (a, b) tels que l’on ait x2 + y 2 = 1. Il y a deux composantes connexes u par arcs : celle du vecteur

traditionnelles que nous utilisons. L'état du système est alors représenté à chaque instant par un point dans cet espace appelé "espace des phases". On obtient une courbe qui correspond à la trajectoire de ce point. On constate alors que ce point est attiré vers une courbe limite, près de laquelle il repasse régulièrement. Les mathématiciens appellent ces courbes des "attracteurs étranges", définitionnels de la théorie du chaos. Les attracteurs étranges présentent par ailleurs une caractéristique bien particulière

uniformément sur [t0 − T, t0 + T ] vers une fonction y . Alors y est solution exacte du problème de Cauchy pour l'équation (E). 7 Proposition 14 Soit yp : [t0 − T, t0 + T ] → Rm une suite de solutions εp -approchées 2.2.2 Théorème de Cauchy-Peano-Arzela Nous allons montrer que si f est continue, alors le problème de Cauchy admet au moins une solution locale (et donc maximale par prolongement). Le résultat s'appuie sur le théorème d'Ascoli, dont un corollaire est : Proposition 15 (Ascoli)

de la théorie des fonctions tous les préjugés d'origine intuitive qui en altéraient la rigueur et la pureté ; on a défini analytiquement la continuité d'une fonction, et l'on a découvert qu'une fonction continue peut n'avoir pas de dérivée (qu'une courbe continue peut n'avoir pas de tangente), ce qui est le plus beau démenti à l'intuition. Enfin la notion même du continu, que l'on considérait comme intuitive et indéfinissable, et qui paraissait caractéristique des grandeurs géométriques, a pu être

des fractales 1.1 Au commencement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Les premi`res images fractales . . . . . . . . e 1.1.2 L’autosimilarit´ . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Crise des math´matiques (1875-1925) . . . . . . . . e 1.2.1 Une courbe continue sans d´riv´e . . . . . . e e 1.2.2 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Une ligne qui remplit un carr´ . . . . . . . . e 1.2.4 Koch en renfort de Weierstrass . . . . . . . 1.2.5 Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . .