Courbure de Gauss

(1692-1770), et le français MOIVRE Abraham DE (1667-1754). On propose ainsi la formule de Stirling. On étudie les séries trigonométriques. Celles de la forme ∑( an.cos nx + bn.sin nx )font leur apparition. En 1740 Euler introduit les surfaces à courbure constante ainsi que l’équation des surfaces du second degré tandis que Lambert introduit la trigonométrie sphérique. S’ensuit une longue période sans grandes avancées jusqu’en 1770 où Monge découvre les équations des surfaces algébriques et Lagrange

ouvrage Concept of space, Max Jammer énumère quelques unes de ces tentatives. Gauss, par exemple, tenta de mesurer et calculer la somme des angles d’un grand triangle formé par trois montagnes. Il ne constat aucun écart par rapport au 180° prévu par la géométrie euclidienne. Ce genre d’investigation était fondé sur une conception de la géométrie comme une science empirique par opposition à l’arithmétique. Ainsi, Gauss affirmait que le nombre est un pur produit de l’esprit mais que l’espace a une

charges sont indiscernables séparément pour l'observateur, il faut découper la source en éléments infiniment petits de charge dQ. Chacun de ceux-ci crée un champ élémentaire  en un point M de l'espace. Le champ total est l'intégrale : 3-Théorème de Gauss 3-1 Elément de surface En traçant deux réseaux de lignes sur une surface quelconque, S, on la décompose en surfaces plus petites, délimitées par ces lignes (voir la figure). Si les lignes sont très nombreuses et si elles sont distribuées régulièrement

fraction conform´ ment ` e e e sin i sin r = . aux lois de Snell-Descartes (cf. fig. 1 a gauche). En particulier, i′ = i et ` C1 C2 S i i′ C1 C2 I r P P1 C2 > C1 F IG . 1 – Ondes sismiques P′ h C1 Croˆ te u Manteau M x α ´ I-A : Etude locale La courbure de la Terre est n´ glig´ e. Le sol est divis´ en deux couches homog` nes : la croˆ te terrestre d’´ paisseur h e e e e u e dans laquelle la c´ l´ rit´ des ondes est C1 et le manteau a l’int´ rieur duquel leur c´ l´ rit´ vaut C2 > C1 . Une explosion

: le degré est plus grand que la somme des ordres de multiplicités des racines. Application : P → P ∼ est un isomorphisme. 4 - Polynômes scindés : définition, relations entre coefficients et racines pour un polynôme scindé. 5 - Théorème de d’Alembert-Gauss (admis), tout polynôme de C[X] est scindé, éléments irréductibles de C[X]. Caractérisation des polynômes irréductibles de R[X]. Exemples : décompositions de X n − 1, décomposition en produit des polynôme bicarrés. 21. Algèbre linéaire (3) : matrices

................. 26 II.4. Lignes de champ et équipotentielles :........................................................................... 26 Chap. 4 Théorème de Gauss - Applications I. Utilité du théorème de Gauss :.............................................................................................. 28 II. Théorème de Gauss : ........................................................................................................... 29 II.1. Flux du champ créé par un charge ponctuelle :

matricielleIII - Principales matrices de transfertIV - Expression générale d’une matrice de transfertV - Changement d’origineVI - Relation de conjugaisonVII - Association de deux systèmesEléments de l’optique matricielle On rappelle que l’approximation de Gauss, qui est l’approximation linéaire de l’optique géométrique, consiste 4 ne considérer que les rayons faiblement inclinés par rapport 4 l’axe optique du systéme et donc de travailler uniquement avec de petits angles d’incidence, de réfraction et de réflexion

dus à la dispersion des verres des objectif et oculaire d’une lunette astronomique. Les quatre figures de la partie « Optique » sont en page 6. On considérera que les lentilles minces de ce problème sont utilisées dans le cadre de l’approximation de Gauss. 1. FOCOMETRIE L’axe (x′x) d’un banc d’optique est orienté dans le sens de parcours de la lumière. On notera O1 et O2 les centres de deux lentilles (L1 ) convergente et ( L 2 ) divergente, A et A′ les points sur l’axe optique d’un objet lumineux transverse

a alors n cos i1 ≈ 1 ≈ cos i2, ce qui donne HA' ≈ HA 2 , indépendant de i1. n1 Lorsque les rayons lumineux sont faiblement inclinés sur l’axe AH, le dioptre plan donne du point objet A une image A’ quasi-ponctuelle. On est dans l’approximation de Gauss. L’image d’un objet AB parallèle à la surface du dioptre, est A’B’ parallèle à la surface, car A' B' AH = BH’ et A’H = B’H’). Le grandissement est alors γ = = 1. AB n2 × f i . La position de A’ dépend 1 n1 ( ) 1 16 A’ B’ B A n1 n2

Fresnel : N = 10, n = 1,5, φ = 15 cm, fo = - 10 cm et φ0 = 5 cm. II.1.4 On rappelle que la focale fi d’une lentille mince en fonction de n et des rayons de courbure comptés algébriquement R1 et R 2 des dioptres, respectivement indicés 1 pour 1 1 · § 1 = (n − 1)¨ − l’entrée et 2 pour la sortie, est donnée par ¸. fi © R1 R 2 ¹ Exprimer le rayon de courbure Rpc de la face sphérique de la lentille plan-convexe (L) en fonction de l'indice n et de sa distance focale image fi, puis en fonction de n et de fo.