Covariance

aux variables aléatoires X et Y de P. Estimateurs de la covariance cov(X,Y) entre deux v.a. X et Y Lorsque m1=E(X) et m2=E(Y) sont connues 1 n Tn ( X , Y ) = ∑ ( X i − m1 ) Yi − m2 n i =1 ( ) est un estimateur de cov(X,Y). Pour une réalisation particulière des échantillons aléatoires, tn ( x, y ) = 1 n ∑ xi − m1 n i =1 ( ) ( yi − m2 ) est l’estimation associée A-2 Exemple d’estimateurs Cas général La covariance empirique : 1 n Sn ( X , Y ) = ∑ ( X i − X ) Yi − Y

très attentif pour la mesure et la gestion des risques. La théorie du portefeuille de Markowitz fournit des outils de mesure que nous pouvons, à nos jours, qualifier de ‘‘classiques’’ ; il s’agit en particulier des bêtas, des écarts-types et des covariances. Les insuffisances des méthodes classiques ont rapidement pris le dessus2, rendant ainsi le recours à une modélisation sophistiquée plus qu’une nécessité. La Value-at-Risk constitue un grand pas dans ce sens dans la mesure où elle apporte, en dépit

bivari´e e 3.1 S´rie statistique bivari´e . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.2 Deux variables quantitatives . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Repr´sentation graphique de deux variables e 3.2.2 Analyse des variables . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Corr´lation . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.5 Droite de r´gression . . . . . . . . . . . . . e 3.2.6 R´sidus et valeurs ajust´es . . . . . . . . . e e 3.2.7 Sommes de carr´s et variances . . .

................ Vecteurs aléatoires.................................................................................. Généralités ................................................................................................... Indépendance. Covariance. Fonction caractéristique............................... Vecteurs gaussiens ...................................................................................... Théorèmes limites fondamentaux...................................................

k ρ ui−k k=0 ∑ σu2 + ρ2k σu2 2 1−ρ k=0 } { i−2 ∑ 1 = ρ2(i−1) + ρ2k σu2 1 − ρ2 k=0 { } 1 1 − ρ2(i−1) 2(i−1) = ρ + σu2 1 − ρ2 1 − ρ2 σu2 = , 1 − ρ2 i−2 = ρ2(i−1) et les covariances se calculent de la mˆeme mani`ere cov (εi , εi−j ) = σu2 ρj , pour tout j > 0. 1 − ρ2 On peut donc construire la matrice variance-covariance du vecteur ε = (ε1 . . . εi . . . εn )′ : var(ε) = σu2 Ω,  o` u 1 ρ ρ2 .. .    1   Ω=  1 − ρ2  n−3 ρ  ρn−2 ρn−1 ρ 1 ρ .. . n−4 ρ ρn−3 ρn−2 ρ2 ρ 1 .. . ···

Definition 5.4 (covariance de deux variables numeriques) La covariance de deux variables X et Y , c’est la moyenne de la variable Z = XY moins le produit des moyennes de X et de Y . Si (x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , yn ) sont les valeurs de deux variables num´riques X, Y mesur´es sur le e e ¯ ¯ mˆme ´chantillon de moyennes Xn , Yn , leur covariance empirique est e e cov(X, Y ) = 1￿ ¯ ¯ xi yi − Xn Yn . n i=1 n Remarque 5.5 La variance de X n’est rien d’autre que la covariance de X avec elle-mˆme

(2003) envisagent ainsi la possibilité d’une corrélation des résidus des relations de cointégration pour différents individus sans spécifier de forme particulière pour cette relation. Dans ce cas, cette dépendance se traduit par une matrice de variance-covariance dans la représentation VECM (équation 1) non diagonale. Une telle spé- cification correspond alors à une notion de dépendance contemporaine ou de causalité instantanée inter-individuelle. Une autre spécification possible des liens entre individus

mettre à l’épreuve la méthode ERC. On définit mathématiquement les portefeuilles ERC de la manière suivante : Soient σx le risque total du portefeuille définit par le vecteur de poids x tel que : σx=x'ΣƩx avec Σ, la matrice de variance-covariances des actifs considérés. La volatilité du portefeuille correspond à la somme pondérée des contributions marginales au risque de chaque actif. D’un point de vue matriciel, la contribution marginale au risque de l’actif i est définie par : ∂σx∂xi=ΣxixTΣx

dispersion o Analyse de deux variables quantitatives et qualitatives (covariance, ajustement affine par méthode des moindres carrés) Probabilités o Espaces probabilisés (modélisation, probabilité conditionnelle, probabilités composées, formule de Bayes, indépendance) o Variables aléatoires discrètes (définition, fonction de réparation, espérance, variance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev) o Lois usuelles o Covariance de deux variables aléatoires - 2ème Année (5h) 1. 2. 3. Algèbre

X est uniforme sur l’ensemble {1, . . . , 6} et conditionnellement ` a X la v.a. Y a une loi Bin(X, 1/2). Calculer P(X = i|Y = 0) pour i = 1, . . . , 6. Exercice 12 Soit (X0 , X1 , . . . , Xn ) un vecteur Gaussien de moyenne nulle et matrice de covariance Γ = (Γij )i,j=1,...,n . Montrer que ❊[X0 |X1 , . . . , Xn ] = n λi Xi i=1 et d´eterminer les poids λi en fonction de Γ. 2 p.s.