Covariance

à k composantes des coefficients, et  un vecteur aléatoire de dimension N figurant les aléas. Les hypothèses des mco se traduisent en disant que le vecteur  des aléas, suit une loi normale multidimensionnelle centrée et de matrice de variances-covariance 2.I (où I note la matrice unité de dimension NxN) :  ~ N(0, 2.I) D'un point de vue simplement géométrique, la minimisation de la somme des carrés des résidus revient à projeter orthogonalement le vecteur Y sur le sous-espace engendré par les

du logiciel LISREL 8,30 (Jööreskog & Söörbom, 1993) et, présumant d’une non-normalité de la distribution des variables (Skewness multivarié = 96,13 (109,01), p < 0,0001; Kurtosis multivarié = 91,16 (110,91); p < 0,0001), à partir d’une matrice de covariance asymptotique en utilisant la méthode des moindres carrés pondérés Weight Least Square (WLS). Afin d’évaluer la validité des modèles proposés, plusieurs indices d’ajustement ont été utilisés : le χ2 (Jööreskog & Söörbom, 1993), le Goodness-of-Fit

École Polytechnique Universitaire de Montpellier Spécialité Sciences et Technologie de l’eau Projet d'Ingénierie Mathématique Étude d’un bief de rivière pour l’irrigation d’une commune voisine Présenté par Diane Amati, Mathilde Rollet et Thibault Buffiere, étudiants en 3ème année Amati Diane Rollet Mathilde Buffiere Thibault Sciences et Technologies de l’Eau – Polytech Montpellier 1 Rapport PIM– 6ème semestre : Amati Diane Rollet Mathilde Buffiere Thibault Sciences

normalité… 26 Le risque de modèle ::l’agrégation des risques Le risque de modèle l’agrégation des risques Aspects spatiaux − La grande dimension du risque pose problème même dans un univers gaussien valeurs propres de la matrice de variance/covariance de 32 indices (source Riskmetrics) Certains portefeuilles ont une variance apparente très faible. LTCM « Relative value » 27 Le risque de modèle ::l’agrégation des risques Le risque de modèle l’agrégation des risques 240 220 Maturité

0032 X5 0.0820 -0.3363 -0.8773 -0.9016 1.0000 -0.3368 X6 0.0820 0.0917 0.0348 0.0032 -0.3368 1.0000 La matrice de corrélations est obtenue en exécutant la fonction correlation. MatCor=correlation(poids) Cette fonction fait appel à la fonction covariance. Calculons les valeurs propres de la matrice des corrélations et intéressons nous aux pour- centages d’inertie. Axe Valeur propre Inertie Inertie cumulée 1 2.9914 49.90% 49.90% 2 1.6125 26.90% 76.80% 3 1.0387 17.30% 94.10% 4 0.2487 4.10% 98.20%

diversifiable peut être éliminer par diversification ( MARKWITZ H, 1959) . Le risque systématique est habituellement estimé à partir du modèle de marché de Sharpe. Son indicateur représente le coefficient bêta dont la valeur est le rapport de la covariance du titre i avec le marché M et la variance du marché. Dans le cas d'un portefeuille composé de n titres, le coefficient de sensibilité (le risque systématique n'est rien d'autre que la moyenne pondérée de bêtas des titres qui le composent. Cette

simplifier par le calcul des variances et de la covariance des deux variables X et Y retenues. La variance répond à la formule suivante : où : n, nombre d’individus xi, valeur de la variable x pour l’individu i x , moyenne arithmétique de la variable x Pour simplifier à l’extrême, la statistique paramétrique repose sur l’hypothèse que les données sont des variables indépendantes distribuées selon une loi normale. 1 La covariance considère les variations communes des deux variables

Espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.2 Covariance de deux v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.3 Matrice de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.4 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4 Caractérisation des lois : transformée de Laplace et caractéristique 4.1 Transformée de Laplace

x1, …, xp' avec xj=i=1n1nxij. On obtient alors le tableau Y centré associé à X, où yij=xij-xj. Matrice de variance et de corrélation On note sj2=i=1npi(xij- xj) et vkl=i=1npi(xik- xk)(xil- xl) respectivement la variance de la variable j et la covariance des variables k et l. On les regroupe dans la matrice de variance V=X'Dp X-gg'=Y'DpY. De même, on définit le coefficient de corrélation linéaire entre les variables k et l par rkl=vklsksl. On note Z le tableau centré réduit tel que zij=xij-xjsj

..... 86 Cas de l’ analyse de variance à deux facteurs :.......................................................... 86 Cas d’ un modèle mixte avec données répétées : ....................................................... 87 Cas de l’ analyse de covariance:.................................................................................. 88 Options supplémentaires: ............................................................................................... 88 Test de Student: .................