Critère de convergence des séries alternées

Exercices avec solutions sur les séries numériques Exercices sur les séries numériques Déterminer la nature des séries numériques suivantes : I. 1 n2 (n!)2 (n!)2 1 1 b/∑ c/ ∑ d/∑ e/ ∑ f / ∑ ∑ n(n + 1)(n + 2) 2 3 n 2 n (2n)! n ≥1 n ≥0 n + 1 n ≥0 n ≥ 2 (ln(n)) n ≥ 2 ln(n + n + 1) n ≥0 2 a/ g/ n2 ∑ (n + δ )n δ < n ≥0 k / ∑ 1 2 h/ 1 1 (e n − e n +a ) a > 0 1 + 2 + ... + n ∑ 12 + 22 + ... + n 2 i/ n ≥0 l/ n ≥1 1 ∑

Correction 1 1. On a les valeurs suivantes : a0 = 1 b0 = 7 1 1 9 a1 = 2·a0 + b0 = 2·1 + 7 = = 3 3 3 3 1 1 14 b1 = a0 + 2·b0 = 1 + 2·7 = 3 3 3 1 1 9 14 32 a2 = 2·a1 + b1 = 2· + = 3 3 3 3 9 1 1 9 14 37 b2 = a1 + 2·b1 = + 2· = 3 3 3 3 9 Voici la représentation de quelques points sur une droite graduée dont l’unité à pour mesure 2 cm : A1 A1 B2 A0 On en déduit que la suite (bn ) est décroissante. Graphiquement, les deux suites resterons chacune d’un côté de la droite graduée ( ? ?). 4. On a les propriétés

Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé Convergence de séries à termes positifs Exercice 1 - Quelques convergences - L2/Math Spé 1. On a limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d’Alembert. 3. On a : n2 un = exp 2 ln n − Il résulte de lim∞ ln n √ n √ √ ln n n ln 2 = exp − n ln 2 − 2 √ n lim n2 un = 0, . = 0 que

Chapitre II Séries Numériques La série constitue une généralisation de la notion de somme pour une succession in…nie de termes. L’étude des séries consiste à évaluer la somme d’un nombre …ni n de termes successifs, puis, par un calcul de limite, à identi…er le comportement de la série lorsque n devient indé…niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on va le voir par la suite. 2-1

CHAPITRE 1 SÉRIES NUMÉRIQUES 1.1 Généralités Définition 1.1.1 Soit (un )n une suite de nombres réels, on pose : n Sn = u0 + u 1 + . . . + u n = uk . k=0 La limite de Sn est appelée série de terme général un . (Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général un est notée 1.2 un Convergence   ou  n≥0   un . Définition 1.2.1 Une série de terme général un est dite convergente si la suite des

2014-2015/F.Sehouli Page 1 Chapitre 04 : Séries Entières On étudie dans ce chapitre une famille particulière des séries de fonctions : celles de la forme ou dites séries entières. On s’intéresse dans un premier temps aux propriétés de la somme d’une série entière (domaine de convergence, continuité,…), on verra ensuite comment exprimer des fonctions usuelles comme somme des séries entières. I. Définition et domaine de convergence d’une série entière : 1. Définition : On

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le n terme général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée l’ensemble ; an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche     x∈R: ∆=   ∞ n=0     . an xn converge   C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ xn . n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert

Séries entières 9-1 Sommaire 1. Séries Entières, Convergence 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Série entière . . . . . . . . . . . . . . Rayon de convergence . . . . . . . . Disque ouvert de convergence . . . . Recherche du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 3.3. Développements usuels . . . . . . . . . . . . 5 1 4. Développement en S.E., Somme de S.E. 4.1. Fonction développable en série entière . . . 4.2. Développement en série entière . . . . . . . 4.3. Sommation de