Décomposition de Dunford

admet un plan stable (c’est-à-dire f -invariant). 3. Démontrer qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de f est   −1 1 0 B =  0 −1 1  0 0 −1 et trouver une matrice P inversible telle que A = PBP−1 . 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B (justifier). 5. Pour t ∈ R, calculer exptB et exprimer exptA à l’aide de P et exptB. 6. Donner les solutions des systèmes différentiels Y = BY et X = AX. II On rappelle qu’une matrice N ∈ Mn (C) est dite nilpotente d’ordre m si N

n ∑ k=0 ak A = k A k+1 Ck − Ak Ck−1 = 0 On a donc PA (A) = 0 et Pu (u) = 0 puisque sa matrice dans la base choisie est PA (A) . 446 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications 17.4 Le théorème de décomposition des noyaux Lemme 17.3 Soient p un entier supérieur ou égal à 2, P1 , · · · , Pp des polynômes non nuls p ∏ dans K [X] et Q1 , · · · , Qp les polynômes dénis par Qk = Pj pour tout k compris entre 1 et p. Si les polynômes Pk sont deux à deux premiers

fameux shift unilatéral S , omni-présent dans cet ouvrage. L’étude générale des isométries (et des isométries partielles) s’appuie fortement sur la décomposition polaire et ses variantes (notamment la décomposition polaire maximale), qui est étudiée en détail dans les exercices du chapitre VI, et rend à peu près autant de services que la décomposition polaire z = eiθ ρ des nombres complexes ! C’est ce que nous avons cherché à montrer, en particulier dans la caractérisation complète des points extrémaux

19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances croissantes 66 IV 66 Algèbre linéaire 29 Espaces vectoriels 66 30 Applications linéaires 68 31 Espaces vectoriels de dimension finie 69 32 Applications

compléments sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, de l’étude de la dualité et de la manipulation des matrices par blocs. La dualité constitue une première étape vers l’étude des distributions, qui dépasse le cadre de cet ouvrage. La décomposition des matrices en blocs traduit souvent des propriétés profondes des applications linéaires qu’elles représentent, et la manipulation des blocs permet de résoudre de façon élégante certains exercices sur les matrices et les déterminants. 22 26,

Propriétés de Z/nZ 40 III Polynômes 42 42 45 48 51 52 53 54 56 58 20 Polynômes 21 Division euclidienne 22 Racines de polynômes 23 Polynômes irréductibles 24 Fonctions symétriques 25 Fractions rationnelles 26 Décompositions de fractions rationnelles 27 Décomposition en éléments simples 28 Division suivant les puissances croissantes IV Algèbre linéaire 58 58 59 61 62 66 72 74 77 80 82 85 86 . 86 . 88 . 90 . 91 . 94 . 97 . 98 . 99 . 101 29 Espaces vectoriels 30 Applications

aux militaires et aux fonctionnaires, après les événements de septembre, des augmentations de salaire respectivement de 1 000 et 1 500 p. 100. En 1993, la vitalité traditionnelle de l'économie informelle permet aux Zaïrois de faire face à la décomposition du pouvoir politique. Le 19 octobre, une nouvelle monnaie, le nouveau zaïre, est créée. En 1994, le nouveau Premier ministre tente de remettre de l'ordre dans les finances publiques mises à mal par des malversations généralisées et de restaurer

projet (Giard & Midler, 1997) ; - le « maître d’œuvre » correspond au responsable du projet, car il dirige et réalise le projet. Il assume à la fois un rôle d’architecte, d’ensemblier (responsabilité des choix de conception globaux et de décomposition en lots de travaux) et un rôle de coordination de la réalisation de l’ouvrage (organisation des appels d’offres sur les 83 A titre d’illustration, lorsqu’un pharaon décidait de faire construire la pyramide sous laquelle il serait enterré