Définition par récurrence

A) Définition et représentation graphique Une suite numérique est une fonction de N  dans R  . Pour désigner la suite u  , on peut écrire (u n )  . L'écriture u n   désigne en revanche le terme de rang n  de la suite u  , c'est-à-dire u(n)  . La fonction définie pour tout entier naturel n  par u(n)=2n+1  est une suite. Il existe trois façons de définir une suite. 1. Définition explicite La suite (u n )  est définie directement par son terme général : u n =f(n)  2. Définition par récurrence Soient

Généralités sur les suites I – Suite arithmétique a. Définition par récurrence r = raison n = entier naturel Suite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante. La différence est la raison. b. Terme général Uo = premier terme de la suite p et m = entiers naturels Sommes des premiers entiers consécutifs : II – Suite géométrique a. Définition par récurrence q = raison n = entier naturel b. Terme général

objets » mathématiques et les relations qui les joignent ne se trouvent pas dans la nature, ce sont des définitions précises données par les mathématiciens, il n’est donc pas raisonnable de vouloir démontrer une définition ou une convention (qui n’est qu’une définition particulière), on peut, au mieux, les justifier. Chapitre 1 Pré-requis admis : la multiplication des réels entre eux, la récurrence sur . Idée intuitive : créer une notation pour indiquer pour x un réel quelconque, et n un entier

suite. 1. Définition explicite La suite \displaystyle{(u_{n})} est définie directement par son terme général : u_{n} = f(n) 2. Définition par récurrence Soient \displaystyle{f} une fonction définie sur \displaystyle{\mathbb{R}} et un réel \displaystyle{a}, une suite \displaystyle{(u_{n})} peut être définie par récurrence pour tout entier naturel \displaystyle{n} par : \begin{cases} u_{0} = a \cr\cr \forall n \in \mathbb{N} \text{ , } u_{n+1} = f(u_{n}) \end{cases} 3. Définition implicite La

Utiliser une suite auxiliaire • L’outil : – Propriétés des suites géométriques. • Les objectifs : – Savoir reconnaître une suite arithmétique ou géométrique. – Savoir conjecturer un résultat et le démontrer. – Savoir passer de la définition par récurrence à la définition explicite d’une suite. 1. u0 = 1, u1 = 2, u2 = 5. u1 – u0 ≠ u2 – u1 : la suite n’est pas arithmétique. u1 u2 ≠ : la suite n’est pas géométrique. u0 u1 1 3 9 27 81 ,v = ,v = ,v = ,v = . 2 1 2 2 2 3 2 4 2 b) On peut conjecturer que

Raisonnement par récurrence P(n) désigne une certaine propriété dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné. On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0 , la propriété P(n) est vraie. Pour cela, on procède en deux étapes : Etape 1. On vérifie que P(n0 ) est vraie, Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque. On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est

avec corrections • Chapitre 3. Les variables aléatoires de loi continue (60 pages) Exercices avec corrections Thème 2: Chaîne de Markov (environ 4 séances) • • • • • Matrice de transition et classification des états. Stabilité, récurrence et périodicité. Loi stationnaire. Probabilités d'absorption. Les chaînes de Markov apparaissent régulièrement en finance (modélisation de l'évolution de titres en Bourse), en économie et dans bien d'autres domaines liés à la gestion. • L'étudiant

SUITES (Partie 1) I. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). Principe : On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré

Fiche sur le chapitre I SAVOIR COMMENT FAIRE Utiliser un raisonnement par récurrence - On identifie clairement la propriété relative à un entier naturel que l’on se propose de démontrer. Cette propriété est : généralement donnée par l’énoncé soit conjecturée en observant les premières valeurs de Ensuite, il faut bien respecter les 2 étapes de raisonnement par récurrence : - L’initialisation ( vérifier que est vraie pour le premier indice ) - La transmission. On

Logique et raisonnement ∗ ∗ ∗ I. Éléments de logique 1. Propositions Définition 1. On appelle proposition tout énoncé mathématique qui est soit vrai soit faux. Remarque 1. 1. Si P est une proposition, on écrit P pour dire « P est vraie ». 2. Si P (x) est une proposition dépendant de x, elle sera vraie ou fausse suivant les valeurs de x : soit E un ensemble, on écrit « ∀ x ∈ E, P (x) » pour dire que « P (x) est vraie pour toute valeur de x dans l’ensemble E ». Exemples 1. 1. La proposition ∀