Degré

Second degré Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ LE SECOND DEGRÉ Exercice de motivation : un rectangle a pour périmètre P = 14m et pour aire S = 12m 2 . Quelles sont les dimensions de ce rectangle ? Modélisation : Soient x et y les dimensions de ce rectangle, on a : x + y = P 2 = 7 et xy = S = 12 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x 2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit. 1

Second degré Christophe ROSSIGNOL∗ Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Polynômes du second degré 2 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Équations du second degré 4 2.1 Discriminant

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITION On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c (a,b et c réels avec a = 0). Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 + bx + c est aussi appelée trinôme du second degré. DÉFINITION On appelle racine du trinôme f , tout réel qui annule f . Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c,

Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c où a, b et c sont des réels avec a ≠0 Exemples P(x)=2x2+3x−5 est un polynôme du second degré. P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine) P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant on

Equation du second degré Définition : Une équation du second degré a pour forme générale : a x2 + b x + c = 0 avec a ¹0. Les solutions (si elles existent) d'une telle équation sont les abscisses des points d'intersection : de la parabole d'équation P d’équation y = a x2 et de la droite D d’équation y = - b x – c Résolution graphique d'une équation du second degré Cas 1 : (figure I page 3) La droite (D) coupe la parabole (P) en deux points A et B. Les deux solutions distinctes sont les abscisses

du second degré I Forme réduite et forme canonique 1) Définition Une fonction polynômiale P du second degré, ou trinôme du second degré, est définie sur R et s’écrit sous la forme réduite P (x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont trois nombre réels quelconques avec a = 0. b Une fonction polynômiale P du second degré peut aussi s’écrire sous forme canonique P (x) = a(x −α)2 +β avec α = − . 2a 2) Interprétation graphique Propriété : la représentation graphique d’un trinôme du second degré est une

1ère S3 DEVOIR n°1 DE MATHEMATIQUES 03.10.2013 EXERCICE 1 Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par : ( ) On désigne par С la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗). Vous justifierez toutes vos réponses. 1. a) Déterminer la forme canonique de f . b) Quelles sont les racines de f ? c) Donner la forme factorisée de f. 2. Donner le tableau de signes de f(x). 3. Dresser le tableau de variations de f. 4. Résoudre a) l’équation ( ) b) l’inéquation

Polynômes et équations du second degré Savoir-faire : Mettre un polynôme du second degré sous forme canonique Déterminer les racines d'un polynôme du second degré Etudier le signe d'un polynôme du second degré Utiliser la forme la plus adaptée (développée, canonique, factorisée) d'un polynôme du second degré en vue de résoudre un problème 1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c

mathématiques de 1ère S – Trinômes du second degré et polynômes – 55 min N°1 : 6 points 1) Résoudre les trois équations du second degré ci-dessous. 25 x2 10 x 2=0 9 x 24=12 x 6 x 222 x=8 2) Résoudre les trois inéquations du second degré ci-dessous. 25 x2 10 x 20 9 x 2412 x 6 x 222 x8 3) Écrire les trinômes du second degré ci-dessous sous forme factorisée. 25 x2 10 x 2=0 9 x 24−12 x 6 x 222 x−8 N°2 : 3 points Considérons le trinôme du second degré de la forme ax 2bxc (a≠0). 3) Rappeler

Polynômes du second degré 1. Equation du 2nd degré a. La forme générale d'une équation du 2nd degré est : ax² +bx + c = 0 avec a # 0 exemples : 3x² - 5x + 2 = 0 où a = 3 ; b = - 5 et c = 2 - 4x² + 7 = 0 où a = - 4 ; b = 0 et c = 7 b. Le nombre de solutions d'une équation du 2nd degré dépend de la valeur d'un nombre T appelé discriminant et tel que T = b² - 4 ac. On distingue 3 cas en fonction de la valeur de T Si T > 0, l'équation a deux solutions distinctes : −b− ∆ −b+ ∆ et x 2 = x1