Degré

proposition 2 : Pour tout réel a, on peut développer grâce à la Proposition 1 la quantité V ar(X + aY ) ≥ 0 : V ar(X + aY ) = V ar(X) + V ar(aY ) + 2Cov(X, aY ) = V arX + a2 V ar(Y ) + 2aCov(X, Y ) par la Propriété 1 ≥ 0. (3.1) Le polynôme du second degré en a étant de signe constant, son discriminant est négatif ou nul : 4 (Cov(X, Y ))2 − 4V ar(X)V ar(Y ) ≤ 0, d’où l’inégalité recherchée. Remarquons au passage que le cas d’égalité se produit lorsque le discriminant de l’équation (3.1) est nul. Dans

négatif, on a x −∞ Signe de ax + b +∞ −b / a + 0 − Le signe de ax + b est le signe de l’ordonnée des points d’une droite de coefficient directeur a, les figures précédentes permettent de retenir ces signes. ̈ Un trinôme du second degré ax 2 + bx + c est toujours du signe de a sauf entre les racines si elles existent. Rappel Il faut s’habituer à bien employer le mot « positif » : dire qu’un nombre est positif signifie qu’il appartient à l’intervalle 0 ; + ∞  , le nombre

x ² − x) × (2 x) = v ²( x) ( x ² + 1)² ⇔ f ' ( x) = 2 x 3 + 2 x − x ² − 1 − (2 x 3 − 2 x ²) 2 x 3 + 2 x − x ² − 1 − 2 x 3 + 2 x ² x ² + 2 x − 1 = = ( x ² + 1)² ( x ² + 1)² ( x ² + 1)² 4 3. Pour le dénominateur, on étudie un polynôme du second degré donc on calcule : ∆= 8 donc on a deux racines ‫ݔ‬ଵ = − 2 + 8 − 2 + 2 2 2(−1 + 2 ) = = = −1 + 2 et ‫ݔ‬ଶ = − 1− 2 2 2 2 Puis comme ܽ est positif : Valeurs de ‫ݔ‬ −∞ − 1− 2 − 1+ 2 +∞ Signe de + 0 0 + ‫ݔ‬² + 2‫ ݔ‬− 1 Signe de + + + (‫ ݔ‬ଶ + 1)ଶ + 0

#»  u0 u3 ×× u2×u4 −1 O #» ı × 1 × 2 u1 −1 1 2. Soit ϕ la racine positive de l’équation x = 1 + x . Calculer ϕ. x=1+ 1 x+1 x2 − x − 1 ⇐⇒ x − = 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ x2 − x − 1 = 0 x x x 1+ 5 2 x2 − x − 1 est un trinôme du second degré avec ∆ =√ (−1)2 − 4 × 1 × (−1) = 5. Ce trinôme admet donc deux √ √ racines réelles distinctes x1 = > 0 et x2 = 1− 5 2 < 0. On pose donc ϕ = 1+ 5 . 2 3. Sans utiliser la valeur de ϕ trouvée dans la question précédente, mais seulement la relation

− 4| |3t − 1| = . 3 12 + 12 + 12 Un point de (d) est donc équidistant de (ABC) et de (BCD) (et donc de ABD) et (ACD)) si et seulement si : (3t − 1)2 |3t − 1| ⇒ t2 = |t | = ⇐⇒ 3t 2 = 9t 2 + 1 − 6t ⇐⇒ 6t 2 − 6t + 1 = 0 3 3 Cette équation du deuxième degré a un discriminant égal à 36−24 = 12 > 0. Elle a donc deux solutions. Il existe donc deux points de la droite (d) équidistants des trois plans (ABD), (ACD) et (BCD), mais il peut en exister d’autres. E XERCICE 4 1. On a d(M, P ) = z+ 1 4 2 1 1 =

ln(1 − 3x ) − ln x 1 3 < f) ln x − ln x 2 √ 3 g) e x > 5 h) e −x e −3x+1 i) e 2x + e x − 3 > 0 k) 4x 4 − 16 j) 2048x 2 − 1024x − 1024 l) x 4 + 14x 2 + 49 m) 6x 4 − 16x 3 + 10x 2 o) x 4 − 1 n) (3x + 7)2 − (2x + 9)2 Equation du second degré Exercice n˚ 14 Résoudre dans C les équations : b) iz 2 + iz + 1 + i = 0 a) 2z 2 − (1 + 5i)z − 2(1 − i) = 0 c) (1 − i)z 2 − (5 − i)z + 10 = 0 Exercice n˚ 17 Factoriser les polynômes suivants. a) x 3 + 1 b) x 3 − 6x 2 + 11x − 6 c) 4x 3 + 12x 2 +

Devoir maison 1: I. Calcul de l'année de lumière Une année de lumière est la distance parcourue par la lumière en une année. 1) 1)  Qu'elle est donc l'unité officielle de l'année de lumière? L’unité officielle de L’année de lumière est A.L. Pour effectuer le calcul de cette distance, on utilise la relation entre la vitesse V, la distance D et le temps T :  D = V x T 2) 2)  Rappelle l'unité officielle de chacune de ces grandeurs L’unité de mesure de distance (d) est le mètre (m)

CRÉATION D’UN TEST SUR LE DEGRÉ D'AUTONOMIE D’UN ADOLESCENT 1. Réalisation : En équipe de 2, vous devez créer un questionnaire de dix questions portant sur le degré d'autonomie d’un adolescent.Pour ce faire vous devez faire un questionnaire à réponses numériques dont la plus haute note correspond au plus haut degré d’autonomie. Exemple : 1. Je fais la cuisine : 5 : toujours, 4 souvent, 3 parfois, 2 rarement, 0 jamaisCes dix

exprimera souvent la tendance de façon satisfaisante. Si l’on souhaite plus de précision, on recourra au calcul de la droite des moindres carrés, ou droite de régression des ventes sur le temps. Ce calcul prend la forme d’une équation (dite du second degré) y = ax + b : y représente les ventes estimées par la droite, x le temps, a est la pente de la droite, et b une constante (souvent, le point d’origine de la droite). On peut aussi, si la 117 PRÉVISIONS DES VENTES ET MODÉLISATION tendance

Plan de leçon Précédant C-1a résoudre des équations quadratiques et rattacher les solutions aux zéros d'une fonction quadratique correspondante à l'aide de la · Représentation graphique · Formule quadratique · Factorisation C-1b résoudre des équations non linéaires · Par factorisation · Graphiquement · Graphiquement avec une fonction intégrée de la calculatrice à affichage graphique [zéros, intersection, résolveur d'équations] C-2 déterminer la nature des racines réelles et non réelles