Densité de probabilité

Ces microhémorragies peuvent se produire chez un boxeur lors d’un match. Lors d’un match, si un boxeur a un nombre de microhémorragies strictement supérieur à 2, alors la probabilité qu’il ait un traumatisme crânien est 0,1. Si le nombre de microhémorragies est inférieur ou égal à 2 lors d’un match, alors la probabilité que le boxeur ait un traumatisme crânien est nulle. On suppose que le nombre de microhémorragies lors d’un match suit une loi de Poisson de paramètre 3 et que ce nombre est

Exercice n°2 : Loi à densité A. Posons Montrer que f est une fonction de densité de probabilité f représente-t-elle une loi uniforme ? On pose X la variable aléatoire de fonction de densité f. A est l’événement «  » et B est l’événement «  » Pour chacune des six probabilités suivantes : Énonce en français la signification de la probabilité. Trace un petit croquis mettant en valeur l’aire représentative de la probabilité. Calcule à près la valeur de la probabilité. Solution :

UV Statistiques Cours n°1 UV Statistique pour l'ingénieur Cours n° 1 Introduction Rappels de probabilités Variables aléatoires A. ROGOZAN – Ph. LERAY 1 UV Statistiques Cours n°1 Statistique pour l'ingénieur • Objectif : Prise en compte de l'aléatoire pour aider à prendre une décision « Comment prévoir en présence du hasard » • Domaine d'application : Médecine, qualité, environnement, assurance, jeux, informatique, ... • Signification ambigüe du terme : La Statistique = ensemble

2. Variables aléatoires discrètes…………………………………………………4 2.1. Définition………………………………………………………………………………………………..4 2.2. Loi de probabilité………………………………………………………………………………….4 2.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….5 3. Variables aléatoires continues…………………………………………………7 3.1. Définition………………………………………………………………………………………………..7 3.2. Fonction densité de probabilité………………………………………………………..7 3.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….8 4. Espérance et variance………………………………………………………………11

lignes N que l’entreprise doit installer pour que la probabilité que toutes les lignes soient utilisées au même instant soit au plus égale à 0,025. Exercice 3 :un dé est lancé 9000 fois. On cherche à déterminer la probabilité de l’évènement « on a obtenu 6 entre 1400 et 1600 fois » On note X la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus. 1. Quelle est la loi de X 2. Par quelle loi peut-on approcher la loi de X. 3. Calculer la probabilité demandée dans l’énoncé. Exercice 4: Soient X1, ….Xn 

7 9 1 Probabilités 1.1 Espace de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 L’espace des observables Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 La tribu A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 La mesure de probabilité P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Variables aléatoires à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Densité de probabilité . . . .

quatre boules tirées sont de la même couleur » E : « trois boules portent la même lettre » F : «  deux boules sont noires et deux boules portent la lettre « F » » Calculer la probabilité de chacun de ces événements. EXERCICE N°2 :(5 points) On dispose d’une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d’obtenir « Face » est égale à 0.3, et de trois urnes numérotées de 0 à 2 : L’urne numéro 0 contient un jeton portant le numéro 0 L’urne numéro 1 contient deux jetons portant

admet pour densité : La loi de densité est appelé normale réduite centrée et est notée . Propriétés : i. et ii. est une fonction paire et admet une maximum en x=0, qui vaut .Le graphe de a l’allure d’une courbe en cloche : iii. Sa fonction de répartition est et a pour allure : 2) La loi normale générale. Définition : On dit qu’une variable aléatoire à valeurs dans est dite normale si elle est absolument continue et admet pour densité :

est, pour toute valeur de t, une variable aléatoire1. On a donc que X(t1) et X(t2) constituent deux variables caractérisées chacune par une certaine densité de probabilité notée TX(ti)(xi) pour t = ti, qui peut être continue ou discrète. La fonction aléatoire continue X(t) est entièrement décrite par la connaissance des densités de probabilité jointes du type TX(t1),···,X(tn)(x1,···,xn) pour toute valeur de n,c’est-à-dire de tout ordre. 2.1.2 Moments On appelle moyenne de la fonction

tout ensemble A ⊆ R on a P(X ∈ A) = (1) f (x)dx. A On appelle f fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X. L’équation (1) exprime que la probabilité que X prenne ses valeurs dans A est obtenu en intégrant f sur A. Par conséquent f doit vérifie : P(X ∈ R) = f (x)dx = 1. R On a aussi b P(a ≤ X ≤ b) = f (x)dx. a Et pour a = b on a a P(X = a) = f (x)dx = 0. a Ce qui exprime que la probabilité qu’une v.a. continue prenne une valeur donnée est nulle. I. Elhattab (ENCG)