Dérivée extérieure

Lycée Cité Errafeha M’nihla Prof : ADEL—KHLAIFI Série n°24: Equations différentielles Mathématiques Niveau : 4ème M. 2013— 2014 Exercice n°1 : Soit l’équation différentielle  E : y " 4y  0.  1. Déterminer les solutions f et g de l’équation E , telles que : f (0)  5 et f '(0)  0; g(0)  0 et g'(0)  8. 2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par  C l’ensemble de points M  x, y  tels que : x  f(t)  où t décrit  . Quelle est la nature de l’ensemble

appartenant à I. On dit que f est dérivable en a si la limite lorsque h tend vers 0 du quotient f ah− f a existe et est finie. Cette limite se note f ' a et s'appelle le nombre dérivé h de f en a. Remarque : on utilise cette méthode pour calculer la dérivée des fonctions usuelles. Dans la pratique, elle est peu employée sauf dans des exercices théoriques ou si c'est explicitement précisé dans l'énoncé. Exemple : En revenant à la définition du nombre dérivé, calculer f ' 2 où f est la fonction définie

Etude d’une fonction 1. 1.a 1.b Soit f l’application de ℝ ∗ dans ℝ définie par : ∀t ≠ 0, f (t ) = Justifier que f est continue et paire. Former le développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t

et interpréter un résultat sur un graphique. – Donner du sens à la notion de nombre dérivé d’une fonction en un point et à son interprétation géométrique. – Faire le lien entre les variations d’une fonction et le signe de sa dérivée. – Etudier le signe d’une fonction dérivée. – Rédiger un exercice. C’est pour répondre à ces difficultés d’apprentissage que nous avons construit les activités présentées dans les pages suivantes, pour permettre d’outiller l’enseignant devant l’hétérogénéité du public

CHAPITRE 3 ACTIVITÉ Dérivation (page 73) 3 a) L’équation réduite de la droite d : y = 3x – 2. Activité c) La droite d semble tangente en A à la parabole ᏼ. 2 b) Le coefficient directeur semble « s’approcher » de m = 3. 4 b) Le coefficient directeur de la tangente est 3. Cela confirme la conjecture faite précédemment. PROBLÈME OUVERT Par lecture graphique : en A de coordonnées (3 ; 0). Par le calcul, après assimilation du chapitre. 1 La fonction f définie sur ]0 ; + ∞[

CONCOURS GÉNÉRAL SÉNÉGALAIS 1/3 10 1 CGS 02 01 Durée : 05 heures Toutes séries réunies SESSION 2010 CLASSES DE PREMIÈRE MATHEMATIQUES PROBLEME 1 (06 Points) Soit O un point de l’espace muni d’une unité de longueur, S la sphère de centre O et de rayon 1. Soit A, B et C des points de S tels que C n’appartient pas au cercle de centre O passant par A et B. On considère : I le milieu de [AB] et J le point de (OI) tels que les droites (OA) et (AJ) sont perpendiculaires. K le milieu de

 1 ES/L : DS de Mathématiques n°3 10/02/2014 Nom : Prénom : 3h00 Exercice n°1:8 points Evolution du marché du livre numérique aux Etats-Unis. Le graphique suivant donne l’évolution du marché du livre numérique aux Etats-Unis entre 2008 et 2013 : Année 2008+n Recettes (millions) % d'augmentation des recettes augmentation

Démonstration de cours : On considère un nombre réel a. En utilisant la définition du nombre dérivé, prouver que la fonction carré[pic] est dérivable en a, et préciser le nombre [pic]. Exercice 3 : (6 points) Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée [pic] de la fonction f. [pic] 4) [pic] [pic] 5) [pic] [pic] 6) [pic] Exercice 4 : (6 points) Soit f la fonction définie

= f ′(a )( x − a ) + f (a ) III. Fonctions dérivées et dérivées de fonctions usuelles 1. Fonction dérivée d’une fonction f Définition : Si une fonction f est dérivable en tout point a d’un intervalle I, on appelle fonction dérivée de f sur I la fonction qui associe à tout réel de I le nombre dérivé de f en ce point, et on note f ′ cette fonction : f′ x ֏ f ′( x) © http://www.bacdefrancais.net Page 5 sur 23 Dérivation 2. Dérivée de fonctions usuelles Les formules encadrées

limx→0ln(x)=−∞ limx→+∞ln(x)=+∞ D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier naturel non nul n : limx→+∞ln(x)xn=0 limx→0+xnln(x)=0 Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1 étant égal à 1 : limx→1ln(x)x−1=1 BLa dérivée La fonction logarithme népérien est dérivable sur R+∗. Pour tout réel x strictement positif : ln′(x)=1x a molécule et sa position dans l'espace ALes carbones asymétriques Un carbone est asymétrique si, et seulement si, il est relié à quatre